第八章第五節
(時間30分鐘，滿分50分)
一、選擇題(每小題3分，共15分)
1．(2010·山東聊城)已知橢圓的長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標準方程是
a.＋＝1b.＋＝1或＋＝1
c.＋＝1d.＋＝1或＋＝1
【解析】 ∵a＝4，e＝，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，
∴橢圓的標準方程是＋＝1或＋＝1.
【答案】 b
2．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的乙個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為
a．(－3,0b．(－4,0)
c．(－10,0d．(－5,0)
【解析】 ∵圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，
∴圓心座標為(3,0)，
∴c＝3，又b＝4，∴a＝＝5.
∵橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的左頂點為(－5,0)．
【答案】 d
3．(2011·諸城模擬)如圖，有公共左頂點和公共左焦點f的橢圓ⅰ與ⅱ的長半軸的長分別為a1和a2，半焦距分別為c1和c2.則下列結論不正確的是
a．a1－c1＝a2－c2b．a1＋c1＞a2＋c2
c．a1c2＞a2c1d．a1c2＜a2c1
【解析】 由圖知a、b顯然正確，
又＜，∴1－＜1－.
＞.∴c1a2＞c2a1，∴d正確，故選c.
【答案】 c
4．(2010·廣東中山)設f1、f2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交於p、q兩點，當四邊形pf1qf2面積最大時，·的值等於
a．0b．2
c．4d．－2
【解析】 易知當p、q分別在橢圓短軸端點時，四邊形pf1qf2面積最大．此時，f1(－，0)，f2(，0)，p(0,1)，
∴＝(－，－1)，＝(，－1)，
∴·＝－2.
【答案】 d
5．(2010·四川)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為f，其右準線與x軸的交點為a.在橢圓上存在點p滿足線段ap的垂直平分線過點f，則橢圓離心率的取值範圍是
ab.c．[－1,1d.
【解析】 依題意，|pf|＝|fa|，而|fa|＝－c，|pf|≤a＋c，
∴－c≤a＋c，∴a2≤ac＋2c2.
又e＝，∴2e2＋e≥1，∴2e2＋e－1≥0，
即(2e－1)(e＋1)≥0，又0＜e＜1，
∴≤e＜1，故選d.
【答案】 d
二、填空題(每小題3分，共計9分)
6．如圖，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內一定點，m是圓周上一動點，把紙片摺疊使m與f重合，然後抹平紙片，摺痕為cd，設cd與om交於點p，則點p的軌跡是________．
【解析】 設圓的半徑為r，由條件知|pm|＝|pf|.
∴|po|＋|pf|＝|po|＋|pm|＝|om|＝r＞|of|.
∴p點的軌跡是以o、f為焦點的橢圓．
【答案】 橢圓
7．(2010·湖北)已知橢圓c：＋y2＝1的兩焦點為f1，f2，點p(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|pf1|＋|pf2|的取值範圍為直線＋y0y＝1與橢圓c的公共點個數為
【解析】 延長pf1交橢圓c於點m，故|f1f2|≤|pf1|＋|pf2|<|mf1|＋|mf2|＝2a，
即2≤|pf1|＋|pf2|<2；
當y0＝0時，0當y0≠0時，直線＋y0y＝1為y＝，代入＋y2＝1中有(＋y)x2－2x0x＋2－2y＝0.
∵δ＝4x－4 (2－2y)
＝8<0，
∴直線與橢圓無交點．
【答案】 [2,2) 0
8．在平面直角座標系xoy中，設橢圓＋＝1(a>b>0)的焦距為2c.以點o為圓心，a為半徑作圓m.若過點p作圓m的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為________．
【解析】 設切點為q，b，如圖所示．切線qp、pb互相垂直，又半徑oq垂直於qp，所以△opq為等腰直角三角形，可得a＝，∴e＝＝.
【答案】
三、解答題(共16分)
9．(8分)橢圓＋＝1的焦點為f1，f2，點p為其上的動點，當·＜0時，求點p橫座標的取值範圍．
【解析】 f1(－，0)，f2(，0)，設p(x0，y0)，
則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)
∴·＝(x－5)＋y①
又∵＋＝1y＝4－x，代入①得·＝x－1.
由·＜0，得x＜，∴－ ＜x0＜.
∴點p橫座標的取值範圍是.
【答案】
10．(8分)(2010·安徽)橢圓e經過點a(2,3)，對稱軸為座標軸，焦點f1，f2在x軸上，離心率e＝.
(1)求橢圓e的方程；
(2)求∠f1af2的角平分線所在直線的方程．
【解析】 (1)設橢圓e的方程為＋＝1，
由e＝，得＝，b2＝a2－c2＝3c2.
∴＋＝1.
將a(2,3)代入，有＋＝1，解得c＝2，
∴橢圓e的方程為＋＝1.
(2)由(1)知f1(－2,0)，f2(2,0)，
∴直線af1的方程為y＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.直線af2的方程為x＝2.
由橢圓e的圖形知，∠f1af2的角平分線所在直線的斜率為正數．
設p(x，y)為∠f1af2的角平分線所在直線上任一點，則有＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0，其斜率為負，不合題意，捨去．
於是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.
∴∠f1af2的角平分線所在直線的方程為2x－y－1＝0.
【答案】 (1)＋＝1 (2)2x－y－1＝0
(10分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，連線橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l與橢圓相交於不同的兩點a，b.已知點a的座標為(－a,0)．
①若|ab|＝，求直線l的傾斜角；
②若點q(0，y0)**段ab的垂直平分線上，且q·q＝4.求y0的值．
【解析】 (1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.
由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程組得
所以橢圓的方程為＋y2＝1.
(2)①由(1)可知點a的座標是(－2,0)，設點b的座標為(x1，y1)，直線l的斜率為k，
則直線l的方程為y＝k(x＋2)．
於是a、b兩點的座標滿足方程組
消去y並整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得x1＝，從而y1＝.
所以|ab|＝＝.
由|ab|＝，得＝.
整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.
解得k＝±1.所以直線l的傾斜角為或.
②設線段ab的中點為m，由①得m的座標為.
以下分兩種情況：
(i)當k＝0時，點b的座標是(2,0)，線段ab的垂直平分線為y軸，於是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2.
(ii)當k≠0時，線段ab的垂直平分線方程為
y－＝－.
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±，所以y0＝±.
綜上，y0＝±2或y0＝±.
【答案】 (1)＋y2＝1 (2)或 ±2或±
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