秘密★啟用前
2023年重慶一中高2009級5月月考
數學(文科)試題卷 2009.5
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1． 如果，那麼正確的結論是（ ）
a． b． c． d．
2．等於（ ）
a． b． c． d．
3．已知平面向量，則向量（ ）
a． b． cd．
4．設對映是實數集到實數集的對映，若對於實數，在中不存在原象，則的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
5．在數列中，若，且，則（ ）
a．2007 b．2008 c．2009 d．2010
6．要從10名女生和5名男生中選出6名學生組成課外興趣小組，如果按性別依比例分層隨機抽樣，則組成此課外興趣小組的概率為（ ）
a． b． c． d．
7．已知函式(是自然對數的底數)的反函式為，則有（ ）
a． b．
c． d．
8．半徑為1的球面上有三點a、b、c，其中a與b、c兩點間的球面距離均為，b、c兩點間的球面距離為，則球心到平面abc的距離為（ ）
abcd.
9．已知函式在區間上是增函式,則實數的取值範圍是( )
(a)(,4) (b)(-4,4] (c)(,-4)∪[2,) (d)[-4,2)
10．已知，若方程的兩個實數根可以
分別作為乙個橢圓和雙曲線的離心率，則（ ）
a． b． c． d．
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．的常數項是用數字作答）．
12．在中，，，所對的邊分別是，，，已知，則
13．已知實數滿足條件，則的最大值為
14．以橢圓兩焦點為直徑的端點的圓交橢圓於四個不同點，順次鏈結這四個點和兩個焦點，恰好圍成乙個正六邊形，那麼這個橢圓的離心率等於
15．已知函式為偶函式，且滿足不等式，則的值為
三．解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本題滿分13分) 已知函式．
（ⅰ）求函式的週期和最大值；
（ⅱ）已知，求的值．
17．(本題滿分13分) 2023年4月22日是第40個「世界地球日」 (world earth day)，在某校舉辦的《2009「世界地球日」》知識競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關保護地球知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是3/4，甲、丙兩人都回答錯誤的概率是1/12，乙、丙兩人都回答對的概率是1/4．
(ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．
(ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率．
18．(本題滿分13分)如圖，已知正三稜柱的各稜長都為，為稜上
的動點．
(ⅰ)當時，求證：；
(ⅱ) 若，求二面角的大小．
19．(本題滿分12分)已知函式，函式的影象在點的切線方程是．
(ⅰ)求函式的解析式；
(ⅱ)若函式在區間上是單調函式，求實數的取值範圍．
20．(本題滿分12分)過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點．
(ⅰ)若切線，的斜率分別為和，求證：為定值，並求出定值；
(ⅱ) 求證：直線恆過定點，並求出定點座標；
(ⅲ)當最小時，求的值．
21．(本題滿分12分)已知數列中，，，其前項和滿足，令.
(ⅰ)求數列的通項公式；(ⅱ)令，求證：
①對於任意正整數，都有． ②對於任意的，均存在，使得時，．
2023年重慶一中高2009級5月月考
數學(文科)試題卷答案 2009.5
一、cddbc;acbba.
二、11.210 12. 13.4 14.；15. 或或
三．解答題：
16. 解：解：（ⅰ）
＝．∴週期為， 最大值為6 ；
（ⅱ）由，得．
， ∴．
17.解：記「甲回答對這道題」、「 乙回答對這道題」、「丙回答對這道題」分別為事件、、，則，且有，即
∴（2）由（1）,.
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：
18. 解（1）當時，取的中點，連線，因為為正三角形，則，由於為的中點時，∵平面,∴平面,
∴. （2）當時，過作於,如圖所示，則底面,過作於,鏈結，則,為二面角的平面角，又,又，,
二面角的大小為.
19. 解：(ⅰ)，在點處的切線
即，故與表示同一條直線，
，即，，.
(ⅱ) 由於，
則或，所以函式的單調區間是
故或或或或，或或，.
20. 解：（ⅰ）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為：，由得
，是方程的解，故
（ⅱ）設由於，故切線的方程是：，又由於點在上，則
則，，同理
則直線的方程是，則直線過定點.
（ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，
而到直線的距離，當且僅當即時取等號. 設
由得，則
.21. 解：(ⅰ)由題意知即
檢驗知時，結論也成立故.
1 由於
②若，其中，則有，則，
故，取（其中表示不超過的最大整數），則當時，. 即到平面的距離為.
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