2023年深圳職業技術學院第三屆數學建模競賽試題

a題購房貸款問題

李四夫婦計畫貸款30萬元購買一套房子，他們打算用20年的時間還清貸款。目前，銀行的貸款利率是0.6%／月。他們採用等額本息還款的方式（即每月的還款額相同）償還貸款。

1. 在上述條件下，李四夫婦每月的還款額是多少？共計需要付多少利息？

2. 在貸款10年零7個月後，他們認為他們有經濟能力還完餘下的款額，打算提前還貸，那麼他們在已支付第10年的第7個月的還款額後的某天，應一次付給銀行多少錢，才能將餘下全部的貸款還清？

3. 如果在第4年初，銀行的貸款利率由0.6%／月調到0.5%／月，他們仍然採用等額還款的方式，在餘下的17年內將貸款還清，那麼在第4年後，每月的還款額應是多少？

4. 又如果在第8年初，銀行的貸款利率由0.5%／月調到0.8%／月，他們仍然採用等額還款的方式，在餘下的13年內將貸款還清，那麼在第8年後，每月的還款額應是多少？

5. （在第三問四問假設的基礎上）銀行調整利率以後，在貸款10年零7個月時，他們認為他們有經濟能力還完餘下的款額，打算提前還貸，那麼他們在已支付第10年的第7個月的還款額後（第8個月應還款前）的某天，應一次付給銀行多少錢，才能將餘下全部的貸款還清？

6. 李四夫婦發現銀行提供了6種不同的還款方式：

①等額本息還款法：是指在貸款期內每月以相等的金額平均償還貸款本息的還款方法；

②等額本金遞減法：是指在貸款期內每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減的還款方法；

③等額遞增還款法：是指在貸款期的後一時間段內每期還款額相對前一時間段內每期還款額有乙個固定增加額，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法；

④等額遞減還款法：是指在貸款期的後一時間段內每期還款額相對前一時間段內每期還款額有乙個固定減少額，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法；

⑤等比遞增還款法：是指在貸款期的後一時間段內每期還款額相對前一時間段內每期還款額呈一固定比例遞增，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法；

⑥等比遞減還款法：是指在貸款期的後一時間段內每期還款額相對前一時間段內每期還款額呈一固定比例遞減，同一時間段內，每期還款額相等的還款方法。

李四夫婦認為，隨著他們工作經歷的增長，家庭收入也會隨著增長，因此，打算採用③等額遞增還款法的還款方式來償還貸款，具體的辦法是：每5年為乙個時間段，後乙個時間段比前乙個時間段每月多還400元。在此情況下，如果貸款利率還是0.

6%／月，那麼，第1個時間段的每月還款額是多少？以後各時間段的每月還款額又是多少？共計付了多少利息？

在貸款10年零7個月後，他們認為他們有經濟能力還完餘下的款額，打算提前還貸，那麼他們在已支付第10年的第7個月的還款額後的某天，應一次付給銀行多少錢，才能將餘下全部的貸款還清？

7. 在6提出的等額遞增還款法方式下，在第4年初，銀行的貸款利率由0.6%／月調到0.

5%／月，又如果在第8年初，銀行的貸款利率由0.5%／月調到0.8%／月，那麼以後各時間段的每月還款額分別是多少？

8. 綜合上述問題，請你們為李四夫婦(實際上是打算貸款購房的人)寫乙份短文，幫助他們分析各種方法的利弊，和償還貸款的計畫。