一元二次方程專題複習
考點一、概念
(1)定義:①只含有乙個未知數,並且②未知數的最高次數是2,這樣的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表示式:
⑶難點:如何理解 「未知數的最高次數是2」:
①該項係數不為「0」;
②未知數指數為「2」;
③若存在某項指數為待定係數,或係數也有待定,則需建立方程或不等式加以討論。
典型例題:
例1、下列方程中是關於x的一元二次方程的是( )
abcd變式:當k時,關於x的方程是一元二次方程。
例2、方程是關於x的一元二次方程,則m的值為
針對練習:
★1、方程的一次項係數是常數項是
★2、若方程是關於x的一元一次方程,
⑴求m的值;⑵寫出關於x的一元一次方程。
★★3、若方程是關於x的一元二次方程,則m的取值範圍是 。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,則下列不可能的是( )
考點二、方程的解
⑴概念:使方程兩邊相等的未知數的值,就是方程的解。
⑵應用:利用根的概念求代數式的值;
典型例題:
例1、已知的值為2,則的值為
例2、關於x的一元二次方程的乙個根為0,則a的值為 。
例3、已知關於x的一元二次方程的係數滿足,則此方程必有一根為 。
例4、已知是方程的兩個根,是方程的兩個根,
則m的值為 。
針對練習:
★1、已知方程的一根是2,則k為另一根是
★2、已知關於x的方程的乙個解與方程的解相同。
⑴求k的值; ⑵方程的另乙個解。
★3、已知m是方程的乙個根,則代數式
★★4、已知是的根,則
★★5、方程的乙個根為( )
ab 1cd
★★★6、若
考點三、解法
⑴方法:①直接開方法;②因式分解法;③配方法;④公式法
⑵關鍵點:降次
型別一、直接開方法:
※※對於,等形式均適用直接開方法
典型例題:
例1、解方程0;
例2、若,則x的值為
針對練習:下列方程無解的是( )
a. b. c. d.
型別二、因式分解法:
※方程特點:左邊可以分解為兩個一次因式的積,右邊為「0」,
※方程形式:如, ,
典型例題:
例1、的根為( )
a bc d
例2、若,則4x+y的值為
變式1變式2:若,則x+y的值為
變式3:若,,則x+y的值為
例3、方程的解為( )
a. b. c. d.
例4、解方程:
例5、已知,則的值為
變式:已知,且,則的值為
針對練習:
★1、下列說法中:
①方程的二根為,,則
②. ③
④ ⑤方程可變形為
正確的有a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
★2、以與為根的一元二次方程是()
a. b. cd.
★★3、⑴寫出乙個一元二次方程,要求二次項係數不為1,且兩根互為倒數
⑵寫出乙個一元二次方程,要求二次項係數不為1,且兩根互為相反數
★★4、若實數x、y滿足,則x+y的值為( )
a、-1或-2 b、-1或2 c、1或-2 d、1或2
5、方程:的解是
★★★6、已知,且,,求的值。
★★★7、方程的較大根為r,方程的較小根為s,則s-r的值為
型別三、配方法
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。
典型例題:
例1、 試用配方法說明的值恆大於0。
例2、 已知x、y為實數,求代數式的最小值。
例3、 已知為實數,求的值。
例4、 分解因式:
針對練習:
★★1、試用配方法說明的值恆小於0。
★★2、已知,則 .
★★★3、若,則t的最大值為 ,最小值為 。
★★★4、如果,那麼的值為 。
型別四、公式法
⑴條件:
⑵公式:,
典型例題:
例1、選擇適當方法解下列方程:
⑷ ⑸
例2、在實數範圍內分解因式:
(1); (2). ⑶
說明:①對於二次三項式的因式分解,如果在有理數範圍內不能分解,
一般情況要用求根公式,這種方法首先令=0,求出兩根,再寫成
=.②分解結果是否把二次項係數乘進括號內,取決於能否把括號內的分母化去.
型別五、 「降次思想」的應用
⑴求代數式的值解二元二次方程組。
典型例題:
例1、 已知,求代數式的值。
例2、如果,那麼代數式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。
例4、用兩種不同的方法解方程組
說明:解二元二次方程組的具體思維方法有兩種:①先消元,再降次;②先降次,再
消元。但都體現了一種共同的數學思想——化歸思想,即把新問題轉化歸結為我們已
知的問題.
考點四、根的判別式
根的判別式的作用:
①定根的個數;
②求待定係數的值;
③應用於其它。
典型例題:
例1、若關於的方程有兩個不相等的實數根,則k的取值範圍是 。
例2、關於x的方程有實數根,則m的取值範圍是( )
a. b. c. d.
例3、已知關於x的方程
(1)求證:無論k取何值時,方程總有實數根;
(2)若等腰abc的一邊長為1,另兩邊長恰好是方程的兩個根,求abc的周長。
例4、已知二次三項式是乙個完全平方式,試求的值.
例5、為何值時,方程組有兩個不同的實數解?有兩個相同的實數解?
針對練習:
★1、當k時,關於x的二次三項式是完全平方式。
★2、當取何值時,多項式是乙個完全平方式?這個完全平方式是什麼?
★3、已知方程有兩個不相等的實數根,則m的值是
★★4、為何值時,方程組
(1)有兩組相等的實數解,並求此解;
(2)有兩組不相等的實數解;
(3)沒有實數解.
★ ★★5、當取何值時,方程的根與均為有理數?
考點五、方程類問題中的「分類討論」
典型例題:
例1、關於x的方程
⑴有兩個實數根,則m為
⑵只有乙個根,則m為
例2、 不解方程,判斷關於x的方程根的情況。
例3、如果關於x的方程及方程均有實數根,問這兩方程
是否有相同的根?若有,請求出這相同的根及k的值;若沒有,請說明理由。
考點六、應用解答題
⑴「握手」問題;⑵「利率」問題;⑶「幾何」問題;⑷「最值」型問題;⑸「圖表」類問題
典型例題:
1、五羊足球隊的慶祝晚宴,出席者兩兩碰杯一次,共碰杯990次,問晚宴共有多少人出席?
2、某小組每人送他人一張**,全組共送了90張,那麼這個小組共多少人?
3、北京申奧成功,促進了一批產業的迅速發展,某通訊公司開發了一種新型通訊產品投放市場,根據計畫,第一年投入資金600萬元,第二年比第一年減少,第三年比第二年減少,該產品第一年收入資金約400萬元,公司計畫三年內不僅要將投入的總資金全部收回,還要盈利,要實現這一目標,該產品收入的年平均增長率約為多少?(結果精確到0.1,)
4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品,據市場分析,若按每千克50元銷售,乙個月能售出500千克,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對此回答:
(1)當銷售價定為每千克55元時,計算月銷售量和月銷售利潤。
(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達到8000元,
銷售單價應定為多少?
5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段,並以每一段鐵絲的長度為周長作成乙個正方形。
(1)要使這兩個正方形的面積之和等於17cm2,那麼這兩段鐵絲的長度分別為多少?
(2)兩個正方形的面積之和可能等於12cm2嗎?若能,求出兩段鐵絲的長度;若不
能,請說明理由。
(3)兩個正方形的面積之和最小為多少?
6、a、b兩地間的路程為36千公尺.甲從a地,乙從b地同時出發相向而行,兩人相遇後,甲再走2小時30分到達b地,乙再走1小時36分到達a地,求兩人的速度.
考點七、根與係數的關係
⑴前提:對於而言,當滿足①、②時,才能用韋達定理。
⑵主要內容:
⑶應用:整體代入求值。
典型例題:
例1、已知乙個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根,則這個直角三角形的斜邊是ab.3 c.6 d.
例2、已知關於x的方程有兩個不相等的實數根,
(1)求k的取值範圍;
(2)是否存在實數k,使方程的兩實數根互為相反數?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由。
例3、小明和小紅一起做作業,在解一道一元二次方程(二次項係數為1)時,小明因看錯常數項,而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項係數,而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什麼嗎?其正確解應該是多少?
例4、已知,,,求
變式:若,,則的值為
例5、已知是方程的兩個根,那麼
針對練習:
1、解方程組
2.已知, ,求的值。
3、已知是方程的兩實數根,求的值。
一元二次方程內部講義知識點考點題型總結
一元二次方程複習內部資料 一元二次方程 只含有乙個未知數,並且 未知數的最高次數是2,這樣的 整式方程就是一元二次方程。如何理解 未知數的最高次數是2 該項係數不為 0 未知數指數為 2 若存在某項指數為待定係數,或係數也有待定,則需建立方程或不等式加以討論。例1 下列方程中是關於x的一元二次方程的...
一元二次方程知識點總結
根的判別式 一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判別式,通常用 來表示,即 i當 0時,一元二次方程有2個不相等的實數根 ii當 0時,一元二次方程有2個相同的實數根 iii當 0時,一元二次方程沒有實數根 四 一元二次方程根與係數的關係 如果方程的兩個實數根是,那麼,也就是說,對於任何乙個有實數...
一元二次方程知識點總結
一 一元二次方程的根 2 一元二次方程根與係數的關係 4 根與係數的關係的應用 驗根 不解方程,利用根與係數的關係可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根 求根及未知數係數 已知方程的乙個根,可利用根與係數的關係求出另乙個數及未知數係數.求代數式的值 在不解方程的情況下,可利用根與係數的關係求關於和的...