山東省尚林濤
向量由於具有幾何形式和代數形式的「雙重身份」，使它成為中學數學知識的乙個交匯點，成為聯絡多項內容的媒介。向量與平面解析幾何，特別是其中直線部分保持著天然的聯絡，同時平面向量是處理其它問題的重要方法，通過將元素間的關係轉化為數量關係，將過去的形式邏輯證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，是一種重要的解決問題的手段和方法。平面向量的高考考查要求，其一是主要考查平面向量的性質和運算法則，向量的座標表示及運算。
其三是和其他數學內容結合在一起，如可以和曲線、數列等基礎知識結合，考查邏輯推理和運算能力等綜合運用數學知識解決問題的能力。本文例析高考數學中平面向量與其它知識的交匯及解題策略.
一、平面向量與不等式的交匯
例1 設a、b為不相等的正數，求證：
證明： 設m=(a,b), n=(a2,b2), 利用向量的數量積不等式有|m| |n|≥|m·n| , 由於a≠b，故ab2-a2b≠0，也即向量m與n不是平行向量，故|m| |n||m·n|, |m|2 |n|2＞|m·n|2 即成立.
金點子：從整體結構上發現不等式與向量不等式有相似之處，避免了取差比較的繁瑣。
二、平面向量與函式的交匯
例2 已知平面向量若存在實數x和k,使
(1)試求函式關係式k=f(x);
(2)討論函式k=f(x)的單調性並求出極大值與極小值.
解：(1
(2) 當x變化時，, k 的變化情況如下表：
∴k=f(x)在（-∞，-1）及（1，+∞）上是增函式，在（-1，1）上是減函式. 當x=-1時，k=f(x)有極大值0.5，當x=1時，k=f(x)有極小值-0.5
金點子：第（1）小題關鍵是發現，以簡化計算，利用，建立函式表示式；第（2）小題利用導數不難解決.
三、平面向量和三角函式的交匯
例3 平面直角座標系內有點p(1,cosx),q(cosx,1), , (1)求向量的夾角θ的余弦用x表示的函式f(x); (2)求θ的最值.
解：（1）
（2金點子：第（1）小題利用向量夾角公式問題便可解決；第（2）題注意到0≤θ≤π，要求出θ的最值，只需求出cosθ的最值.
四、平面向量與解析幾何中的交匯
例4 已知橢圓直線p是上一點，射線op交橢圓於r，又q在op上且滿足當點p在上移動時，求點q的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線.
解：如下圖不妨設因為且所以所以，有並將其代入直線方程，得…① 同理， 所以知有代入橢圓方程，得…② 由①、②得所以點q的軌跡方程為橢圓
金點子：利用兩個非零向量a與b共線的充要條件是有且只有一實數λ，使得b=λa.當a與b同方向時，有b=λa；當a與b反方向時，有b=-λa.
五、平面向量在物理中的應用
例5一重物m用繩懸起如下圖，繩的另一端繫在天花板上，繩長=0.5m，重物經推動後，在一水平面內作勻速圓周運動，轉速n=1轉/秒，求這時繩和豎直方向所成的角度（g取10公尺/秒2）.
解：重物作勻速圓周運動時，加速度是向心加速度，由牛頓第二定律知：在豎直方向上，|t|cosθ=|g|=mg(其中為繩與豎直方向所成的角)①，在水平面內，重力所受合力大小|f|=|t|sinθ,即|t|sinθ=|f|=m|a| (其中a為向心加速度)，…② 由①②得 …③ 圓半徑r=sinθ,圓周長為2πsinθ，故重物在圓周上的速度大小為|v|=|2πnsinθ| 而 …④ 把④代入③ 得 …⑤ 代入已知數字得cos =0.
5,故θ=60o 由⑤可知，物體轉速n愈大，θ也愈大.
金點子：本題是利用向量求解物理問題，物理中力的合成，速度的合成等都與向量有關.
六、平面向量與其它知識的綜合交匯
例6（2023年江西、山西、天津高考試題）已知兩點m（-1，0），n（1，0），且點p使成公差小於零的等差數列。（1）點p的軌跡是什麼曲線？（2）若點p座標為（x0,y0）,記為與的夾角，求tanθ
解(1)記p(x,y),由m(-1,0),n(1,0)得==（-1-x,-y）, ==(1-x,-y)∴., , ,是公差小於零的等差數列，等價於 ， 所以，點p的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.
(2) 點p座標為（x0,y0）,
金點子: 此小題以二次曲線為背景，以向量的數量積為工具，綜合考察了等差數列、軌跡方程等基礎知識，真正體現了高考在知識的交匯處出題的新動向。
綜上所述，以平面向量為工具把其它問題化歸為簡單的向量計算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，實現了數與形的結合，所以平面向量為載體的數學試題與其它數學知識聯絡緊密，具有很強的時代氣息，因此倍受命題老師的青睞.
6 數學高考基礎知識檢測 平面向量
高中數學基礎知識檢測 六 平面向量 一 基本概念 向量的定義 向量的模 零向量 單位向量 相反向量 共線向量 相等向量。二 加法與減法的代數運算 1 2 若 則 向量加法與減法的幾何表示 平行四邊形法則 三角形法則。以向量 為鄰邊作平行四邊形abcd，則兩條對角線的向量 三 實數與向量的積 實數與向...
高考數學錯題複習 平面向量
平面向量 一 選擇題 1 在中,則的值為 a 20 b c d 錯誤分析 錯誤認為,從而出錯.答案 b 略解 由題意可知,故 2 關於非零向量和，有下列四個命題 1 的充要條件是 和的方向相同 2 的充要條件是 和的方向相反 3 的充要條件是 和有相等的模 4 的充要條件是 和的方向相同 其中真命題...
高考數學常考知識點之平面向量
平面向量 考試內容 數學探索版權所有向量 向量的加法與減法 實數與向量的積 平面向量的座標表示 線段的定比分點 平面向量的數量積 平面兩點間的距離 平移 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念 數學探索版權所有掌握向量的加法和減法 數學探索版...