高考數學解題技巧（方法類）
8．分離變數法
一、題型與方法介紹
分離變數法是高考數學中一種十分常用的方法，高考數學試題中，求引數的範圍常常與分類討論、方程的根與零點等基本思想方法相聯絡．
分離變數法：是通過將兩個變數構成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變數各自相同,解決有關不等式恆成立、不等式存在（有）解和方程有解中引數取值範圍的一種方法．兩個變數，其中乙個範圍已知，另乙個範圍未知．
解決問題的關鍵: 分離變數之後將問題轉化為求函式的最值或值域的問題．分離變數後，對於不同問題我們有不同的理論依據可以遵循．以下定理均為已知的範圍，求的範圍：
定理1 不等式恆成立（求解的最小值）；不等式恆成立（求解的最大值）．
定理2 不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）．
定理3 方程有解的範圍的值域（求解的值域）．
解決問題時需要注意：（1）確定問題是恆成立、存在、方程有解中的哪乙個；（2）確定是求最大值、最小值還是值域．
二、方法技巧與例題解析
例1． 已知函式,且恆成立,求的取值範圍．
【解析】方法一 (利用二次函式):問題轉化為不等式組恆成立．
在上的最大值與最小值，利用以對稱軸與定義域端點進行比較分類,研究單調性，此方法比較複雜，此處略．
方法二(分離變數法):問題轉化為在上恆成立(除時注意符號) ．
由定理1得．以下過程略．
例2．已知函式若存在單調遞增區間，求的取值範圍．
【分析】問題轉化為在上有解,即在上有解．
解：問題轉化為在上有(存在)解由定理1．2得．
由，所以．
例3．已知函式的導函式為，．
（1）若對一切恆成立，求實數的取值範圍；
（2）若對滿足的一切的值，都有，求實數的取值範圍．
解：（1）
即對一切恆成立即對一切恆成立
記，則在上恆成立， 在上恆大於0，
在上單調遞增，
（2）即對一切恆成立
若，則不滿足
若，則對一切恆成立
若，則對一切恆成立
．綜上所述：．
【鞏固練習1】
1、已知函式，若對任意恒有，試確定的取值範圍。
2、已知時，不等式恆成立，求的取值範圍。
3、已知函式,．若對任意的都有，求實數的取值範圍．
4、設函式，其中常數．
（1）當時，求函式的單調區間；
（2）若時，恆成立，求實數的取值範圍。
5、在abc中，已知恆成立，求實數m的範圍。
6、求使不等式恆成立的實數a的範圍。
7、設其中，如果時，恒有意義，求的取值範圍。
8、設函式是定義在上的增函式，如果不等式對於任意恆成立，求實數的取值範圍。
【鞏固練習2】
1、已知當xr時，不等式a+cos2x<5-4sinx恆成立，求實數a的取值範圍。
2、若f(x)=在上有恆成立，求a的取值範圍。
3、若f(x)=在上有恆成立，求a的取值範圍。
4、若方程有解，請求a的取值範圍
5、已知是上的單調遞增函式，則的取值範圍是（ ）
6、求使不等式恆成立的實數a的範圍。
【鞏固練習1】答案
1、解：根據題意得：在上恆成立，
即：在上恆成立，
設，則當時， 所以
2、解：令， 所以原不等式可化為：，
要使上式在上恆成立，只須求出在上的最小值即可。
3、解：即
若，則恆成立，
若，則，，
綜上所述：
4、解：（1），又，由得：
，由得，因此的單調增區間有與，的單調減區間有
（2）時，恆成立時，恆成立。
時，恆成立時，恆成立，
5、解: ，
，恆成立，，
即恆成立，
6、解：由於函，令，則由於的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以
7、解：如果時，恒有意義，對恆成立．
恆成立。令，
又則對恆成立，
又在上為減函式，，。
8、分析：本題可利用函式的單調性把原不等式問題轉化為對於任意恆成立，從而轉化為二次函式區間最值求解。
解：是增函式對於任意恆成立
對於任意恆成立
對於任意恆成立，
令，，所以原問題，
又即易求得。
【鞏固練習2】答案
1、解：原不等式當xr時，不等式a+cos2x<5-4sinx恆成立，設則
∴2、解：恆成立，即在上恆成立,
只需，解得
3、解：在上恆成立
在上恆成立
4、解:令 (t>0)，則
5、解：在上恆成立在上恆成立
6、解：由於函，顯然函式有最大值，。
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