分類討論思想是一種重要的數學思想，它對於培養學生思維的條理性和深刻性有著重要的作用，能體現「著重考察數學思維能力」的要求，備受命題者的青睞. 但分類討論問題覆蓋的知識面廣，具有較強的邏輯性、綜合性、**性的特點. 但有些分類討論問題，若能認真地挖掘問題內在的特殊性，靈活運用解題策略和方法，有時簡化或避免分類討論，使解題過程簡捷且降低了問題的難度，提高了解題的效率，下面介紹幾種迴避分類討論的技巧.
一、 挖掘隱含條件，迴避分類討論
在含有引數的不等式中，引數的範圍一般不直接給出而隱含與問題之中，解題時應仔細全面觀察，挖掘題目中的隱含條件，迴避繁瑣的分類討論，是問題簡單化.
例1、已知二次函式，是否存在實數，使的定義域和值域分別是和？如果存在，求出的值；若不存在，說明理由.
分析：本題可根據二次函式的對稱軸與區間的相對位置關係進行討論，但若注意到，可得.所以.故二次函式在區間上單調遞增，從而可以避免分類討論.
所以有 ，所以
例2、在區間內恒有，則的單調遞增區間是（ ）.
a、 b、 c、 d、
分析：本題常規思維是分和兩種情況討論，但注意到函式在區間上的值域是，即而已知在區間內恒有，可知，所以函式的單調遞增區間是
二、分離引數變數，迴避分類討論
在含有引數的方程或不等式中，若能通過適當的變形，使方程或不等式的一端只含有引數的解析式，另一端是無引數的主變數函式，下面只需解決有關函式的至於問題，迴避繁瑣的分類討論，從而是問題簡單化.
例3、若不等式對於一切成立，則
的最小值是（ ）.
a、0bcd、
分析：本題常規可根據二次函式的對稱軸與區間的相對位置關係進行討論，但本題可利用分離變數的方法，避免繁瑣的分類討論.
因為不等式對於一切成立，所以，可知的最小值是函式在上的最大值. 易知的最小值是.
例4、已知定義在上的函式，當為何值時，函式在上有零點.
分析：本題常規思維，函式在上有零點，即方程在有解.
可得：在有解，可令，，
則在有解，可利用一元二次方程根的分布知識分類討論求解. 但本題可利用分離變數的方法，使問題大大簡化.
因為函式在上有零點，即方程在有解. 所以求的範圍可轉化為求函式在上的值域問題，因為，，根據函式的單調性可知函式在上的值域為，
所以，函式在上有零點.
三、巧用影象，迴避分類討論
對某些分類討論問題，可利用題設條件具有的某種特殊數量關係或圖形具備的某種特點，構造滿足題設條件的特殊圖形，進行數形結合，可起到簡化討論的作用.
例5、已知（）在區間上是增函式. 求實數的取值範圍.
分析：，因為在區間上是增函式，
所以對恆成立，即對恆成立，
下面可對和兩種情況進行分類討論，但本題可構造二次函式，根據函式圖象如圖：
若對恆成立，則只要滿足
， 即可.
即解得. 故實數的取值範圍是.
例6、已知且，試求式方程有解的實數的取值範圍.
分析：原方程等價於，
若就此展開討論則情形多而且複雜，不妨用數形結合
的思想構造曲線，，
從而轉化為直線與雙曲線
在上半平面內有交點，求實數的取值範圍，
如圖易求得：或
四、調換主元，迴避分類討論
矛盾的雙方既對立又統一，在一定的條件下是可以轉化的，對於存在兩個或兩個以上變數的數學問題，若我們能打破思維定勢，換乙個角度，調換主元，轉變方位，以「引數」反客為主，常常能迴避討論，可得到意想不到的效果，使問題能更迅速得已解決.
例7、已知函式.證明：對任意都存在，使得成立.
分析：常規思維，令，，由得：.
下面可對分和兩種情況進行分類討論，可以求解但很麻煩，本題可調換主元，以引數反客為主，從而避免繁瑣的分類討論.
因為，所以，
若，即，
令，若對任意使得成立，
即恆成立，則需要
，解得所以命題成立.
例8、已知在區間上是增函式.
設關於的方程的兩個非零實數根為，試問：是否存在實數，使得不等式對任意及恆成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由.
分析：由，得，因為，所以是方程的兩個非零實數根，所以
從而.因為，所以
要是不等式對任意及恆成立，
當且僅當對任意恆成立，即對任意恆成立，
設，或. 所以，存在實數，使得不等式對任意及恆成立，起取值範圍是或.
五、著眼整體，迴避分類討論
整體思想，就是將問題看成乙個整體，注意問題的整體結構和結構變化的思維過程. 所謂整體處理，就是採用分解、組合、改造等手段，將問題的原有整體結構變化為一種新的整體結構，從而順利地實現解決問題的目的.
例9、函式在上的最大值和最小值之和為loga2＋6，則的值為 ( )
abc、2d、4
分析：本題常規思維是按和兩種情況討論，但觀察本題發現：無論和，函式在上是單調函式，因此最大值和最小值之和均為，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(捨去)．選c.
六、導數轉化，迴避分類討論
導數是研究函式性質的重要工具，有些含引數的問題，直接用分類討論去求解，可能很複雜，若利用導數去進行轉化，可以迴避分類討論.
例10、若函式在區間上單調遞增，則的取值範圍是（ ）.
abcd、
分析：本題常規思維是按和兩種情況討論，但本題可利用導數的方法迴避分類討論.
因為函式在區間上單調遞增，所以在上，因為，
令，則，則有成立，所以
解得：以上幾種方法，是迴避分類討論常用方法. 但有其侷限性，只在特定的條件下可收到事半功倍的效果. 大家可以去嘗試.
但分類討論思想對於啟迪學生的思維是其他數學思想方法無法替代的，這裡不是去逃避分類討論，而是對分類討論思想的一種再認識、再昇華；同時也是培養學生的一種處理問題的求簡意識，避免處理問題時的隨意性和盲目性. 從而提高學生的解題效率.
含引數問題迴避分類討論的技巧訓練題
1、設，函式在區間上的最大值與最小值之差為，則（ ）.
abcd、4
2、若對於任意，不等式恆成立，則實數的取值範圍是（ ）.
abcd、
3、設，且，，，則，，的大小關係為（ ）.
a、 b、 cd、
4、已知函式（）.
（1）判斷函式的奇偶性； （2）若在區間是增函式，求實數的取值範圍.
5、已知函式（）.證明：對於都，使得成立.
答案：1、d ；2、b；3、b；
4、解：（1）當時，為偶函式；當時；既不是奇函式也不是偶函式.
（2），要使在區間是增函式，只需當時，恆成立，即，則恆成立，故當時，在區間是增函式.
5、解：，所以.
若，即.
令若對任意使得成立，即恆成立，則需要
，解得，所以命題成立.
導數含引數問題的分類討論
這裡主要來針對第二問進行研究，就是討論極值點與區間的位置關係，此題有兩個極值點。分三類進行討論。第一類是極值點都在區間的左側，第二類是極值點乙個在區間內，乙個在區間外，第三類是兩個極值點都在區間的右側。解 2.記h x f x g x 當b 時h x x3 ax2 x 1，h x 3x2 2ax 令...
含引數不等式恆成立問題的解題策略
解決 含引數不等式的恆成立 問題的基本方法 含引數不等式的恆成立 的問題，是近幾年高考的熱點，它往往以函式 數列 三角函式 解析幾何為載體具有一定的綜合性，解決這類問題，主要是運用等價轉化的數學思想 即一般地，若函式的定義域為d，則當x d時，有恆成立 有解m 恆成立 有解 因而,含引數不等式的恆成...
對一類含引數的導數問題的「新視覺」
含引數的導數問題是近年來高考的難點和熱點，此類問題通常涉及最值和恆成立問題，要求學生在求解中重視分類討論 數形結合 分離引數等基本思想的運用 由於含引數的導數問題往往涉及對引數的討論，因此很多學生對 從何時開始討論 怎樣討論 等問題不知所措 本文將就一類含引數的導數問題進行多角度 多方面的剖析，闡述...