關於[河圖洛書的數學奧秘（三）]的字幕:
今天講的是河圖洛書探秘之河圖洛書的數學奧秘（三）河圖洛書的數學奧秘。剛才講到用洛書原理，構造所有的奇數階幻方。我要講的是兩種方法。
一種方法是以楊輝概括的洛書構圖規則，破解奇數階幻方。
以楊輝概括的洛書構圖規則，破解奇數階幻方。這就是這個我所說的「對易嵌入法」。對易嵌入法，第二個方法是以洛書的數字執行規則，來構造奇數階幻方——太一巡行法。以洛書的數字執行規則，
來構造奇數階幻方，這叫作「太一巡行法」。對於嵌入法，是從數字的方位來分析的，數字分布的方位來分析的。所謂「太一巡行法」，是從數字執行的次序來分析的。
這就是從洛書的構圖規則我們總結出來的，
洛書中從一到九這個次序，就是鄭玄所說的太一之神，巡視九宮所經過的路線。實際上就是從洛書的一的位置，最後到九的位置，按照從一到九那個次序，完成了這樣乙個路線。
如果把太一巡行的路線，用這種方法來進行構造幻方，總結可以概括為這樣幾句口訣，始於下中，右下斜行，出外轉內，遇阻公升格。就是「始於下中，右下斜行，出外轉內，遇阻公升格。」剛才我們通過對
這個洛書構圖規則的分析，已經解釋了這幾句話是什麼樣個意思。怎樣始於下中，怎樣右下傾行，怎樣出外轉內，怎樣遇阻公升格，什麼情況下叫作遇阻公升格。所以我們剛才看到，這個在洛書它從一到九那樣乙個次序，就是體現了剛才說，說的這幾句話的意思。
實際上這幾句話也就是從洛書那樣一種數字執行規則，來概括總結出來的。所以現在我們為了來說明這個問題，就是說明一下剛才說洛書這個數字構成這個次序，就是太一巡行這樣乙個次序，適用不適用於
所有的奇數階幻方呢？我們來實驗一下。我們就從這個比3略高的一點的5，5階幻方來實驗一下，來體會一下，這樣的幾句口訣應該怎樣運用。我們再溫習一下這幾句口訣，
就是「一居下中，右下斜行，出外轉內，遇阻公升格。」這句話很簡單，我們看怎麼在這個5階幻方這樣的乙個構成的過程當中來體現，體現出來。就是換句話說就是我們怎樣運用這樣的四句口訣，來構造5階幻方。
這就是用這樣的太一巡行法，來構造的5階幻方的圖。我們看它是怎樣構成的？一居下中「一居下中」，就是一的起始位置，5階幻方它就是每邊為5了，五五二十五的方陣。
「一居下中」，就是從下一行的中間開始，從這個位置開始，所以1起始位置必在這裡。
必在這裡，就像洛書所表現的3階幻方當中，1也是從這個位置開始的。右下斜行這個口訣第二句「右下斜行
」，就是往這個方向走，往這個方向走，斜行。斜行就跑到這個方陣外面了，這叫「出外轉內」，「出外轉內」，就是根據剛才的分析，
這一格可以看成是下乙個方陣的最上面，所以它轉內，應該轉到這個位置，2，轉到這個位置。然後右下斜行就是3，3再斜行，4應該在這個位置，出了這個方陣之外了，轉內。轉內，轉到這個位置。
轉到這個位置，再右下傾行，5在這個位置。再斜行，
前面由1佔據這個位置，我們就理解為叫做「遇阻」。怎麼辦呢？公升一格。
所以這個5以後6就在這個位置。然後再按照口訣右下斜行，6、7、8這都很容易理解。8之後9，又在這個位置。
出外了怎麼辦呢？
轉內，就轉這個位置。9再右下斜行，應該在這裡，這又出外了怎麼辦呢？轉內，就轉這兒了。
再右下斜行，前面有數佔據我們就是所說的「遇阻」那種情況，就退一步或者公升一格，就到這個位置。所以10以後的11在這裡。然後右下傾行，
11、12、13、14、15。到下一步，16應該在這個位置，這個位置應該是對應的，是這樣乙個位置，這個位置被，有數佔據，這就是我們所說的，這也是遇阻情況之一，也可以理解為就是「遇阻」，怎麼辦呢？公升一格到這個位置。
再右下斜行，就到這個位置。
出外了轉內，所以17在這裡。再右下斜行，在這個位置，出外了，轉內，所以18在這個位置。然後右下斜行，不變，18、19、20。
好，再往前走，有數佔據，理解為「遇阻」。就公升一格，21在這個位置。右下斜行，22在這，
這23呢又出外了，轉內，右下斜行，24在這裡，再往前走，出外了轉內25也結束了，25就是這個最末乙個數，這樣的話，按照這樣乙個所謂「太一巡行」的規律，1從這裡開始，最末乙個數，必在最上面這個位置結束。
就是這是始，這就是終。我們從這樣的乙個演示。就是從這個5階幻方，用「太一巡行法」來構造。
和剛才所說那個洛書那個構造規律，就是那四句話，走了一遍，正好把這個方陣填滿。而且1從下面，**這個位置開始，
最後乙個數25，就在最上面這個**這個位置結束。這樣構成的這個5階幻方呢，是許許多多5階幻方的一種，和剛才我們用「對易嵌入法」所構造的那個5階幻方是不一樣的。如果一比較是不一樣的，顯然不一樣。
但是它也同樣是5階幻方，它具有幻方的基本性質。就是每一橫行，每一豎列五個數，加上兩個對角線，五個數的和都相等，都等於幻方常數就是65。從這個演示我們就可以進一步體會一下，就是剛才那個四句口訣，怎麼樣應用的，
如果我們為了更進一步地熟練地運用這個四句口訣，來構造所有的這個奇數階幻方，我
我們再來體驗一下，7階幻方怎麼構成。方法是完全一樣的，我們看一下就行了。這就是用「太一巡行法」
構造的7階幻方的圖。根據口訣「一居下中」，就是在這個七七的方陣當中，移了7次位置，在下一行的正中。就是從這個地方開始。
「右下斜行」，還是按照剛才這個規律，實際上我們就重複這樣的乙個路線。到這個位置，出外了轉內這個2在這裡，
3、4，5在這，出外了轉內，5在這裡。6、7到這遇阻了，公升格在這裡，8在這裡。9、10，11出外了，轉內，11。
12、13出外了，轉內，13。14遇阻了公升格，15、16、17、18、19、20出外了，轉內，21出外了，轉內，21，
22，這個22到前面，有數佔據了，就公升一格22。22、23、24、25、26、27、28，一路右下斜行，到這個地方又理解為「遇阻」。就是前面被乙個數佔據，佔據，公升一格，29在這個位置。
29往下走30，出外轉內30。31出外轉內31，32、33、34、35，前面遇阻公升格，36在這位置。37、38出外轉內，38在這，39、40出外在這，41、42、43遇阻公升格，44、45、46，46出外，轉內，46在這。
47、48、49，就在這裡。
所以根據剛才這樣乙個演示，同樣證明了我們所說的「太一巡行法」，它的這個規律普遍性。對於7階幻方來說，1它的起始位置，從下行正中間開始，49最後乙個數，必在上一行的中間位置這個地方結束。這和剛才我們所看到的洛書的這個構圖，1在這裡開始9在這裡結束，5階幻方當中，1從這裡開始，25在這個地方結束。
7階幻方也是一樣，1從這裡開始，49在這個地方結束。對7階幻方的演示儘管聽起來和5階幻方的這個執行過程有很多重複的，這個重複本身正說明，剛才我們所概括的那個「太一巡行法」，那幾句口訣的它的普遍適用性。所以我們就是通過這樣的，演示了5階和7階幻方，
我們就可以看出這個剛才說的那個「太一巡行法」幾句口訣，對於所有的奇數階幻方都是適用的，我們可以試驗一下。當然這裡面呢這個我所帶的這個圖，這個是就是9階幻方，這個用「太一巡行法」構造的，其9階幻方，1在最下行這個地方開始，中間那個過程就不說了。
81在最上面這個中間這個位置結束，中間那個過程正好是就是「右下斜行，出外轉內，遇阻公升格，」就這麼乙個規律。非常奇妙而且是很有趣味的。當熟悉了這個幾句口訣的應用，
熟悉了「太一巡行」的這個規則之後，我們就可以非常容易地構造出任何乙個高階次的奇數階幻方。你把這個幻方**做成之後，比如說是11、19或者21或者1001，知道只要是奇數，你把這個**繪好之後,先做出來乙個**，這個**就是幻方的方陣。
然後你從1開始填這個數，一
直填到n的平方，這個時候為結束。就用那幾句口訣往前走。1從下方開始,下一行的中間開始，到最後乙個數，就是n的平方那個數,必在上面第一行的中間結束。
有興趣的話，大家可以試驗這麼乙個方法。
所以這就是我講的這個剛才講的是第二個問題，第二個問題關於用洛書原理構造其奇數階幻方的兩個方法。下面談第三個問題，洛書原理和4階幻方的構成洛書原理和4階幻方的構成。剛才說的都是奇數階幻方，
洛書是3階，然後用所謂「對易嵌入法」，「太一巡行法構」可以造出來的幻方，都是奇數階幻方，可是偶數階幻方怎麼辦呢？最簡單的偶數階幻方，就是4階幻方。4階幻方：
邊數為4的，4×4的方陣。所謂4階幻方就是邊數為4的，
4×4的方陣，偶數階幻方，同樣是可以做出來的，不管這個偶數多大。所有的偶數階幻方都是可以做出的，我們就從偶數階幻方的最簡單的形式4階幻方開始。開始這個李光地那個《周易折中》這個書卷二十一「啟蒙附論」記述了4階幻方的構圖原理，李光地認為4階幻方的構成呢，也同樣可以利用洛書的4階幻方構圖原理上下對易，左右相更「上下對易，左右相更」的換位法。
我們看這個李光地是怎麼來概括這個問題的。
具體做法就是這樣的，李光地是把這個4的平方數，就是16了，就是從1到16，這16個數有兩種排列方法，第一種排列方法，「以十六數自左而右、自上而下列之」就是從左而右，自上而下列之。這就是李光地他的原話，
就這樣表述的。「以十六數自左而右、自上而下列之」。就是這樣，這樣排列。
1到16自左而右，自上而下列之。就是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16這樣排列。
這樣排列之後，就是用那個洛書裡面「對易」或「換位相更」那種方法換位，怎麼換位呢？李光地認為有兩個換位方法。第一種換位法，他說：
「其居中與居四隅者不易，而居四方者交易，則成縱橫皆三十四之數矣。」——清·李光地《周易折中》「其居中與居四隅者不易，而居四方者交易，
則成縱橫皆三十四之數矣」。什麼意思呢？「居中與居四隅者」，「居中」就中間這四個數6、7、10、11，這四個數叫「居中」。
「居四隅者」，「四隅」就是四角，四角就是1、4、13、16這四個數，
這「居中居四隅」這八個數「不易」就是不動。而「居四方者交易」。「居四方者」就是四個邊的，這邊上的八個數。
上面就是2、3，這邊就是8和12，這邊就是5和9，這邊就是14、15，這叫「居四方者」。「交易」就是交換位置。
怎麼換位呢？實際上就是這樣乙個圖，這個居四方的中間這四個數和居四角這四個數不
動。中間這四邊這四個數對稱換位，這個數和這個數換位，這個數跟這個數換位，這個數跟這個數換位，這個數和這個數換位，
這都表示的，這樣換位的這兩個數的交換的位置。這個示意圖所表示的就是李光地所說的第一種換位法。至於換位之後，就成什麼樣子了呢？就成了這個圖了。
中間四個數不動，這6、7、10、11不動，四角數不動，1、4、13、16不動。然後換位那就是這個2和15換位，14和3換位，8和9換位，5和12換位，這樣換，一換就成這樣了。換位之後這個4階幻方就形成了，這就成了4階幻方了，
它就具有這種幻方的基本性質，幻方的基本性質每一橫行，每一豎列和兩條對角線，每一組四個數之和都相等。每一橫行，每一豎列和兩條對角線，每一組四個數之和都相等。都相等，這四個數之和等於多少呢？
就是我們可以用剛才我所介紹的那個幻方常數的計算公式：×4×（1﹢42），1+16=17，17× 4×1/2 = 34。×4×（1﹢42），1+16等於17，
17乘4再乘1/2就是17乘2，34。所以這個李光地說則成縱橫皆三十四之數矣「則成縱橫皆三十四之數矣」，這個「三十四」就是幻方常數。當然這樣構成這個4階幻方只是這個剛才說的幾百種這個4階幻方的一種。
所以這是這個李光地所說的第乙個換位法。
第二種換位法是什麼呢？「若居於四方者不易，而居中與四隅者交易，亦成縱橫皆三十四之圖矣」。——清·李光地《周易折中》就是「若居於四方者不易，而居中與四隅者交易，亦成縱橫皆三十四之圖矣」。
就是和剛才這種換位法正好不一樣。就是這樣乙個換位法，四邊的這四個數不動，
四個角這個四個數和中間的這個四的數對稱換位，按箭頭表示這樣的乙個意思，這個對角這兩個數，這對角這兩個數，中間這個四個數也對角換位。這就是李光地所說的這個「居四方者不易，而居中與居四隅者交易，
亦成縱橫皆三十四之圖矣」。這樣一換位，實際上就成了這個，它就成這個圖了，四邊的數不動，像5、9、8、12這不動，2、3這不動，14、15不動。中間四個數7和10互相換位，11和6互相換位。
這個1和16互相換位，13跟這個4互相換位。這一換位之後就是這個圖了，
這個圖就成了4階幻方圖了。然後我們看，剛才這個形成兩個這個圖。剛才形成這兩個圖，這實際上是乙個圖，實際上是乙個圖。
這個換位的結果，看出剛才這個不一樣。實際上這個圖，第二次形成這個圖，實際上是第乙個圖的倒立圖。
就是把這個第二個圖倒過來，如果我們把這個字，這個數字儘管同一樣，我們可以理解為乙個數字，這裡一模一樣了。1、15、14、4、12、6、7、這9。這倒過來是個9，這是
、10、11、15、13、3、2、16這一模一樣的。
李光地他說這個，剛才是按照這樣乙個排列方法排列後，用兩種換位法來進行換位。換位之後得到是兩個4階幻方圖。這個他認為是兩個圖了，實際上我們可以看作是乙個圖，只是另外乙個圖的倒立。
這是李光地介紹的用第一種排列法然後進行換位，所產生的4階幻方，這是他所推衍出來的4階幻方的構圖方法。李光地認為，構造4階幻方所用的「對換位置」的方法，是根據洛書「上下對易、左右相更」的規律得到的。這種構圖方法，用這個對換位置的方法，他認為這實際上是根據洛書的那種「上下對易、左右相更」那樣一種規律。
當然具體來講他有區別，
但是基本的思路是一樣的。所以他認為，用這樣這個基本的思路，這個洛書構圖的那種思路，來構造這個4階幻方圖是可以做出來的。好，這一節就講到這裡。
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