第二十六章二次函式
本章小結
小結1 本章概述
本章從實際問題的情境入手引出基本概念，引導學生自主探索變數之間的關係及其規律，認識二次函式及其圖象的一些基本性質，學習怎樣尋找所給問題中隱含的數量關係，掌握其基本的解決方法．本章的主要內容有兩大部分：一部分是二次函式及其圖象的基本性質，另一部分是二次函式模型．通過分析例項，嘗試著解決實際問題，逐步提高分析問題、解決問題的能力．
二次函式綜合了初中所學的函式知識，它把一元二次方程、三角形等知識綜合起來，是初中各種知識的總結．二次函式作為一類重要的數學模型，將在解決有關實際問題的過程中發揮重要的作用．
小結2 本章學習重難點
【本章重點】 通過對實際問題情境的分析，確定二次函式的表示式，體會二次函式的意義；會用描點法畫二次函式的圖象，能從圖象中認識二次函式的性質；會根據公式確定二次函式圖象的頂點、開口方向和對稱軸，並能解決簡單的實際問題；會利用二次函式的圖象求一元二次方程的近似解．
【本章難點】 會根據公式確定二次函式圖象的頂點、開口方向和對稱軸，並能解決簡單的實際問題．
【學習本章應注意的問題】
1．在學習本章的過程中，不要死記硬背，要運用觀察、比較的方法及數形結合思想熟練地畫出拋物線的草圖，然後結合圖象來研究二次函式的性質及不同圖象之間的相互關係，由簡單的二次函式y＝ax2(a≠0)開始，總結、歸納其性質，然後逐步擴充套件，從y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2一直到y＝ax2＋bx＋c，最後總結出一般規律，符合從特殊到一般、從易到難的認識規律，降低了學習難度．
2．在研究拋物線的畫法時，要特別注意拋物線的軸對稱性，列表時，自變數x的選取應以對稱軸為界進行對稱選取，要結合圖象理解並掌握二次函式的主要特徵．
3．有關一元二次方程與一次函式的知識是學習二次函式內容的基礎，通過觀察、操作、思考、交流、探索，加深對教材的理解，在學習數學的過程中學會與他人交流，同時，在學習本章時，要深刻理解兩種思想和兩種方法，兩種思想指的是函式思想和數形結合思想，兩種方法指的是待定係數法和配方法，在學習過程中，對數學思想和方法要認真總結並積累經驗．
小結3 中考透視
近幾年來，各地的中考試卷中還出現了設計新穎、貼近生活、反映時代特點的閱讀理解題、開放性探索題和函式的應用題，尤其是全國各地中考試題中的壓軸題，有三分之一以上是這一類題，試題考查的範圍既有函式的基礎知識、基本技能以及基本的數學方法，還越來越重視對學生靈活運用知識能力、探索能力和動手操作能力的考查，特別是二次函式與一元二次方程、三角形的面積、三角形邊角關係、圓的切線以及圓的有關線段組成的綜合題，主要考查綜合運用數學思想和方法分析問題並解決問題的能力，同時也考查計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力和創造能力.
知識網路結構圖
二次函式的概念
二次函式的圖象
開口方向
對稱軸頂點座標
增減性專題總結及應用
一、知識性專題
專題1 二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質
【專題解讀】 對二次函式y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質的考查一直是各地中考必考的重要知識點之一，一般以填空題、選擇題為主，同時也是綜合性解答題的基礎，需牢固掌握．
例1 二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖26－84所示，則下列結論：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0．其中正確的個數是
a．0個b．1個
c．2個d．3個
分析 ∵拋物線的開口向下，∴a＜0；∵拋物線與y軸交於正半鈾，∴c＞0;∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2－4ac＞0．故②③正確．故選c．
【解題策略】 解此類題時，要注意觀察圖象的開口方向、與y軸交點的位置以及與x軸交點的個數．
例2 若y＝ax2＋bx＋c，則由**中的資訊可知y與x之間的函式關係式是
a．y＝x2－4x＋3b．y＝x2－3x＋4
c．y＝x2－3x＋3d．y＝x2－4x＋8
分析由**中的資訊可知，當x＝1時，ax2＝1，所以a＝1．當x=－1時，ax2＋bx＋c＝8，當x＝0時，ax2＋bx＋c＝3，所以c＝3，所以1×(－1)2＋b×(－1)＋3＝8，所以b＝－4．故選a．
【解題策略】 本題考查用待定係數法求二次函式的解析式，解決此題的突破口是x＝1時，ax2＝1，x＝0時，ax2＋bx＋c＝3和x＝－1時，ax2＋bx＋c＝8．
例3 已知二次函式y＝ax2＋bx＋1的大致圖象如圖26－85所示，則函式y＝ax＋b的圖象不經過
a．第一象限b．第二象限
c．第三象限d．第四象限
分析由圖象可知a＜0，＜0，則b＜0，所以y＝ax＋b的圖象不經過第一象限．故選a．
【解題策略】 拋物線的開口方向決定了a的符號，b的符號由拋物線的開口方向和對稱軸共同決定．
例4 已知二次函式y＝ax2＋bx＋c(其中a＞0，b＞0，c＜0)，關於這個二次函式的圖象有如下說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點一定在第四象限；③圖象與x軸的交點至少有乙個在y軸的右側．其中正確的個數為 ( )
a．0個b．1個
c．2個d．3個
分析由a＞0，得拋物線開口向上，由＜0，得對稱軸在y軸左側，由c＜0可知拋物線與y軸交於負半軸上，可得其大致圖象如圖26—86所示，因此頂點在第三象限，故①③正確．故選c.
【解題策略】 此題考查了二次函式的開口方向、對稱軸、頂點等性質，解題時運用了數形結合思想．
例5 若a，b，c為二次函式y＝x2＋4x＋5的圖象上的三點，則y1，y2，y3的大小關係是
a．y1＜y2＜y3b．y2＜y1＜y3
c．y3＜y1＜y2d．y1＜y3＜y2
分析因為y＝x2＋4x＋5的圖象的對稱軸為直線x＝－2，所以x=與x＝－的函式值相同，因為拋物線開口向上，所以當＜＜時，y2＜y1＜y3．故選b．
【解題策略】 此題考查了拋物線的增減性和對稱軸，討論拋物線的增減性需在對稱軸的同側考慮，因此將x=的函式值轉化為x＝－的函式值．
例6 在平面直角座標系中，函式y＝－x＋1與y＝－(x－1)2的圖象大致是(如圖26—87所示
分析直線y＝－x＋1與y軸交於正半軸，拋物線y＝－(x－1)2的頂點為(1，0)，且開口向下．故選d．
專題2 拋物線的平移規律
【專題解讀】 當二次函式的二次項係數a相同時，圖象的形狀相同，即開口方向、大小相同，只是位置不同，所以它們之間可以進行平行移動，移動時，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，對稱軸左、右變化，即沿x軸左、右平移，此時與k的值無關；頂點上、下變化，即沿y軸上、下平移，此時與h的值無關．其口訣是「左加右減，上加下減」．
例7 把拋物線y＝－2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是
a．y＝－2(x＋1)2b．y＝－2(x－1)2
c．y＝－2x2＋1d．y＝－2x2－1
分析原拋物線的頂點為(0，0)，向上平移乙個單位後，頂點為(0，1)．故選c．
【解題策略】 解決此題時，可以用「左加右減，上加下減」的口訣來求解，也可以根據頂點座標的變化來求解．
例8 把拋物線y＝x2＋bx＋c向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為y＝x2－3x＋5，則
a．b＝3，c＝7b．b＝6，c＝3
c．b＝－9，c＝－5d．b＝－9，c＝21
分析 y＝x2－3x＋5變形為y＝＋5－，即y＝＋，將其向左平移3個單位，再向上平移2個單位，可得拋物線y＝＋＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故選a．
【解題策略】 此題運用逆向思維解決了平移問題，即拋物線y＝x2＋bx＋c向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到y＝x2－3x＋5，那麼拋物線y＝x2－3x＋5則向左平移3個單位，再向上平移2個單位，可得到拋物線y＝x2＋bx＋c．
專題3 拋物線的特殊位置與函式關係的應用
【專題解讀】若拋物線經過原點，則c＝0，若拋物線的頂點座標已知，則和的值也被確定等等，這些都體現了由拋物線的特殊位置可以確定係數a，b，c以及與之有關的代數式的值．
例9 如圖26－88所示的拋物線是二次函式y＝ax2＋3ax＋a2－1的圖象，則a的值是
分析因為圖象經過原點，所以當x＝0時，y＝0，所以a2－1=0，a＝±1，因為拋物線開口向下，所以a＝－1.故填－1:
專題4 求二次函式的最值
【專題解讀】 在自變數x的取值範圍內，函式y＝ax2＋bx＋c在頂點處取得最值．當a＞0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向上，頂點最低，當x＝時，y有最小值為；當a＜0時，拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向下，頂點最高，當x＝時，y有最大值為．
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