因式分解的常用方法
第一部分：方法介紹
多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學數學教材基礎上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、運用公式法.
在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再補充兩個常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知是的三邊，且，
則的形狀是（ ）
a.直角三角形 b等腰三角形 c 等邊三角形 d等腰直角三角形
解： 三、分組分解法.
（一）分組後能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：從「整體」看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從「區域性」看，這個多項式前兩項都含有a，後兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，後兩項分為一組先分解，然後再考慮兩組之間的聯絡。
解：原式=
每組之間還有公因式！
例2、分解因式：
解法一：第
一、二項為一組； 解法二：第
一、四項為一組；
第三、四項為一組第
二、三項為一組。
解：原式= 原式=
練習：分解因式1、 2、
（二）分組後能直接運用公式
例3、分解因式：
分析：若將第
一、三項分為一組，第
二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完後就能繼續分解，所以只能另外分組。
解：原式
例4、分解因式：
解：原式=
練習：分解因式3、 4、
綜合練習：（1） （2）
（3）（4）
（56）
（78）
（9） （10）
（11）（12）
四、十字相乘法.
（一）二次項係數為1的二次三項式
直接利用公式——進行分解。
特點：（1）二次項係數是1；
（2）常數項是兩個數的乘積；
（3）一次項係數是常數項的兩因數的和。
思考：十字相乘有什麼基本規律？
例.已知0＜≤5，且為整數，若能用十字相乘法分解因式，求符合條件的.
解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c，都要求》0而且是乙個完全平方數。
於是為完全平方數，
例5、分解因式：
分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等於5。
由於6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發現只有2×3的分解適合，即2+3=51 2
解1 3
1×2+1×3=5
用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和要等於一次項的係數。
例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
1 -6
（-1）+（-6）= -7
練習5、分解因式(1) (2) (3)
練習6、分解因式(1) (2) (3)
（二）二次項係數不為1的二次三項式——
條件：（1
（2（3
分解結果： =
例7、分解因式：
分析1 -2
3 -5
6）+（-5）= -11
解： =
練習7、分解因式：（12）
3） （4）
（三）二次項係數為1的齊次多項式
例8、分解因式：
分析：將看成常數，把原多項式看成關於的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解： =
練習8、分解因式(1) (2) (3)
（四）二次項係數不為1的齊次多項式
例9例10、
1 -2y把看作乙個整體 1 -1
2 -3y1 -2
3y)+(-4y)= -7y1)+(-2)= -3
解：原式解：原式=
練習9、分解因式：（1） （2）
綜合練習10、（12）
（34）
（56）
（7）（8）
（9）（10）
思考：分解因式：
五、換元法。
例13、分解因式（1）
2）解：（1）設2005=，則原式=
（2）型如的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。
原式=設，則∴原式==
==練習13、分解因式（1）
（2）（3）例14、分解因式（1）
觀察：此多項式的特點——是關於的降冪排列，每一項的次數依次少1，並且係數成「軸對稱」。這種多項式屬於「等距離多項式」。
方法：提中間項的字母和它的次數，保留係數，然後再用換元法。
解：原式==
設，則∴原式==
*****（2）解：原式==
設，則∴原式==
練習14、（1）
（2）六、添項、拆項、配方法。
例15、分解因式（1
解法1——拆項解法2——添項。
原式原式=
（2）解：原式===
=練習15、分解因式
（12）
（34）
（5） （6）
七、待定係數法。
例16、分解因式
分析：原式的前3項可以分為，則原多項式必定可分為
解：設=
∵=∴=
對比左右兩邊相同項的係數可得，解得
∴原式=
例17、（1）當為何值時，多項式能分解因式，並分解此多項式。
（2）如果有兩個因式為和，求的值。
（1）分析：前兩項可以分解為，故此多項式分解的形式必為
解：設=
則=比較對應的係數可得：，解得：或
∴當時，原多項式可以分解；
當時，原式=；
當時，原式=
（2）分析：是乙個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，因此第三個因式必為形如的一次二項式。
解：設=
則=∴ 解得，
∴=21
練習17、（1）分解因式
（2）分解因式
（3） 已知：能分解成兩個一次因式之積，求常數並且分解因式。
（4）為何值時，能分解成兩個一次因式的乘積，並分解此多項式。
第二部分：習題大全
經典一：
一、填空題
1. 把乙個多項式化成幾個整式的_______的形式，叫做把這個多項式分解因式。
2分解因式： m3-4m
3.分解因式： x2-4y2
4、分解因式
5.將xn-yn分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為
6、若，則
二、選擇題
7、多項式的公因式是( )
a、 b、 c、 d、
8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )
a、 b、
c、 d、
10.下列多項式能分解因式的是（ ）
(a)x2-y (b)x2+1 (c)x2+y+y2 (d)x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式為（ ）
a．（x－y）（x－y－1） b．（y－x）（x－y－1）
因式分解的常用方法 目前最牛最全的教案
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