有乙個投資商希望投資一定數目的資本. 為此他對四種有價**進行了評估. 這些有價**分別是美國國債, 一家計算機硬體公司, 一家計算機軟體公司, 以及乙個高風險的劇場建設專案.
投資商對每個投資專案的平均收益進行了評估, 並採用了markowitz方法, 即對各項投資收益的方差/協方差矩陣進行評估. (例如硬體和軟體公司常常共同進退, 但由於如果人們厭倦了在新電腦上玩遊戲, 則會更多地選擇去劇院, 因此它們與劇院經營則成負相關.)劇院專案的收益變化範圍很大, 而美國國債的收益則固定不變.
下表給出了各個投資專案的預計收益和方差/協方差矩陣.
問題1: 投資商應採取何種投資策略才能在達到給定的最小收益目標的前提下使收益方差最小?
問題2: 如果投資商希望選擇至多兩種不同的投資途徑, 應如何選擇才能使投資回報總方差最小(在滿足給定的最小收益目標的前提下)?
預期收益和方差/協方差矩陣
問題1問題分析與說明：
在滿足最小收益目標的條件下，確定對4種有價**的投資比例，使得投資方案的收益方差最小。
符號說明：
：表示第i種風險資產在組合中的投資比例；
：表示第j種風險資產在組合中的投資比例；
：表示第i種風險資產的預計收益；
p：表示投資方案的最小收益目標；
：表示在組合投資中第i與第j種風險資產的方差/協方差。
條件：滿足最小收益目標，
目標函式：使得投資方案的收益方差最小，
從而，求得4種有價**的投資比例。
程式**：
model:
sets:
wh/w1..w4/:a,m;
vd/v1..v4/:b,n;
links(wh,vd):f,g;
endsets
data:
m=8 9 12 7;!m第i種風險資產在組合中的投資比例;
f=4 3 -1 0
3 6 1 0
-1 1 10 0
0 0 0 0;!風險資產投資的方差/協方差矩陣;
enddata
@sum(wh(i):a(i)*m(i))>=9.5;
!「9.5」可去不同的值表示投資方案的最小收益目標p;
@sum(wh(i):a(i))=1;
@for(links(i,j):a(i)*b(j)=g(i,j));
@for(vd(j):a(j)=b(j));
min=@sum(links(i,j):g(i,j)*f(i,j));
end執行結果：投資比例為對軟體公司、劇場建設、美國國債各為0.22、0.41、0.37。
問題2問題分析與說明：
問題2比問題1多了乙個條件，要求選擇的投資途徑至多兩種，此外與問題1相同，滿足最小收益目標，確定對4種有價**的投資比例，使得投資方案的收益方差最小。
選擇1種風險資產投資時，即a(i)=b(j)，g(i,j)=a(i)*b(j),g (i,j)只有一項不為0；;
選擇2種風險資產投資時，g(i,j)=a(i)*b(j)+a(j)*b(i)+a(i)*b(i)+a(j)*b(j)，
g（i，j）有四項不為0；
依此類推：選擇3種風險資產投資時，g（i，j）有九項不為0；
選擇4種風險資產投資時，g（i，j）有十六項不為0。
根據題意，「投資商希望選擇至多兩種不同的投資途徑」，所以
g（i，j）有小於等於四項不為0；
程式**：
model:
sets:
wh/w1..w4/:a,m;!m第i種風險資產在組合中的投資比例;
vd/v1..v4/:b;
links(wh,vd):f,g;
endsets
data:
m=8 9 12 7;
f=4 3 1 0
3 6 1 0
1 1 10 0
0 0 0 0;!風險資產投資的方差/協方差矩陣;
enddata
@sum(wh(i):a(i)*m(i))>=9.5;
!「9.5」可去不同的值表示投資方案的最小收益目標;
@sum(wh(i):a(i))=1;
@for(links(i,j):a(i)*b(j)=g(i,j));
@for(vd(j):a(j)=b(j));
min=@sum(links(i,j):g(i,j)*f(i,j));
@sum(links(i,j):0#ne#g(i,j))<=4;
!g（i，j）有小於等於四項不為0;
end執行結果：投資比列為對劇場建設、美國國債各0.5。
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