第二屆「關帝杯」nco競賽
說明：1、本試題不限時間作答，愛交不交，不願意做拉倒。
2、所有試題都不超出中學課本知識範疇。
3、做這份試題的同學，周偶像保佑你在期末和自主招生考試中rp爆發。
4、試卷共六題，滿分150分。
一、（15分）
設有乙個電阻可忽略不計的矩形金屬線框（如圖），、邊放置在兩條足夠長且相互平行的水平光滑絕緣軌道上（圖中未畫出），在邊上接入乙個電阻值為的電阻器，並已知兩條軌道的間距為。空間內存在有垂直於軌道平面的磁場，軸與軌道平行，磁感應強度關於空間座標的關係為，、為已知常數，並規定圖中垂直紙面向內方向為正。時刻，線框靜止於軌道上，邊與軸重合。
(1) 某時刻，給與線框沿軸正方向的衝量，使之有初速度，發現線框能作勻速直線運動。求邊長度的最小值。
(2) 從時刻開始，線框在外力作用下沿軸正方向作速度為的勻速直線運動。已知、、、邊長度、。求要使線框移動距離100m，外力需要做的總功。
二、（22分）
旋轉拋物面（拋物線經繞對稱軸旋轉得到）形狀的反射鏡是一種很實用的裝置。現有乙個這樣形狀的鍍銀反射鏡，它的軸截面方程為，焦點為。
(1)求證:從點發射的光線經拋物面反射，出射光線平行於軸。
(2)在點放置乙個輸出功率為且均勻向外發光的點光源，求點右側另一點處接受到的光強。(用單位面積接受到的光功率來表示。)
三、（21分）
正內任取一點，到三邊的距離記為（順序任意）。分別求出滿足下面條件的點的概率。
(1)(2)四、（21分）
已知函式和實數，且。
(1)求單調區間。
(2)求證：。
五、（21分）
設，求下式的值。
六、（50分）
本題討論波動及其數學描述。
1一列沿軸正方向傳播的一維簡諧波,在時刻的波形可表示為。已知它的角頻率為，波長為。
1．1 求的最小值。
1．2 現在將時刻的波形向右平移，求新的波形關於的方程。
1．3 請建立波在任意時刻的波形，這個關於的函式稱作簡諧波的波動方程。
2 現在考察充滿三維空間的電磁波。設電磁波電場方向為軸正方向。其大小表述為。請在右圖中標出此波的傳播方向和時刻空間中所有波峰的位置，並註明關鍵引數。
3 有很多能夠隔空傷人的神奇武功，其實都可以用機械波模型來解釋，「關帝神掌」就是一例。「關帝神掌」的使用者利用身體作為角頻率為的震動源，從手掌向前發射出範圍很大的平面簡諧波（本題中可認為充滿整個空間）。在空氣介質中機械波的波速為。
關大俠處在空間直角座標系的原點，他施用「關帝神掌」瞄準位於的某人發出振幅為的「關帝神掌」。為了結果表述方便，以下解答中可以引入引數
3.1假定該波的傳播方向垂直於軸指向點，振動方向沿軸。，試建立空間中的波動方程，初相位可用表示。
3.2 如果把這乙個「關帝神掌」看作是分別沿兩個方向傳播的波的合成，已知軸分量的波長為，試求軸分量的波長為。
3.3 已知空氣中每個質元沿軸的振動速度最大為，空氣密度為。試求空間任一點上單位體積內的平均能量（只考慮機械波帶來的空氣振動）。
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