天津工業大學理學院
最優化課程設計**
《最優化方法課程設計》——關於存貯論的操作實踐
存貯論(inventory theory)又稱庫存理論，是運籌學中發展較早的分支。現代化的生產和經營活動都離不開存貯，為了使生產和經營活動有條不紊地進行，一般的工商企業總需要一定數量的貯備物資來支援。在企業的生產經營或人們的日常生活中，通常需要把一定數量的物質，用品或食品暫時儲存起來，以備將來使用和消費，這就是所謂的存貯現象。
存貯的存在主要基於社會經濟現象的不確定性。
一、存貯論的基本理論
存貯系統是由存貯、補充和需求三個基本要素所構成的資源動態系統，其基本形態如圖所示。
以下就上述結構圖的三個環節分別加以說明：
1．存貯（inventory）
企業的生產經營活動總是要消耗一定的資源，由於資源供給與需求在時間和空間上的矛盾，使企業貯存—定數量的資源成為必然，這些為滿足後續生產經營需要而貯存下來的資源就稱為存貯。
2．補充（replenishment）
補充即存貯的輸入。由於後續生產經營活動的不斷進行，原來建立起來的存貯逐步減少，為確保生產經營活動不間斷，存貯必須得到及時的補充。補充的辦法可以是企業外採購，也可以是企業內生產。
若是企業外採購，從訂貨到貨物進入「存貯」往往需要一定的時間，這一滯後時間稱為採購時間。從另乙個角度看，為了使存貯在某一時刻能得到補充，由於滯後時間的存在必須提前訂貨，那麼這段提前的時間稱為提前期。存貯論主要解決的問題就是「存貯系統多長時間補充一次和每次補充的數量是多少？
」，對於這一問題的回答便構成了所謂的存貯策略。
3．需求（demand）
需求即存貯的輸出，它反映生產經營活動對資源的需要，即從存貯中提取的資源量。需求可以是間斷式的，也可以是連續式的。
存貯系統所發生的費用包括存貯費用、採購費用和缺貨費用。存貯費用（holding cost）是指貯存資源占用資本應付的利息，以及使用倉庫、保管物、保管人力、貨物損壞變質等支出的費用。採購費用（order cost）是指每次採購所需要的手續費、電信費、差旅費等，它的大小與採購次數有關而與每次採購的數量無關。
存貯系統所發生的費用除存貯費用和採購費用之外，有時還會涉及缺貨費用，缺貨費用（stock-out cost）是指當存貯供不應求時所引起的損失，如機會損失、停工待料損失，以及不能履行合同而繳納的罰款等。
在討論確定性模型前，首先對一些常用符號的含義作必要的說明。
c：單位時間平均運營費用（或稱單位時間平均總費用），
r：單位時間物品需求量（或稱需求速度），
p：單位時間物品生產量（或稱生產速度），
k：物品單價（外部訂購）或單位物品成本費用（內部生產），
q：訂貨量（外部訂購）或生產量（內部生產），
c1：單位物品單位時間保管費用（簡稱單位保管費用），
c2：單位物品單位時間缺貨損失（簡稱單位缺貨損失），
c3：訂購費用（外部訂購）或生產準備費用（內部生產），
以上定貨量（生產量）q和訂購費用（生產準備費用）c3，都是對應於一次訂購（一次生產）而言的。
模型1，不允許缺貨，且一次到貨。
建立模型前，需要作一些假設：
1 缺貨損失無窮大（即不允許缺貨），
2 當存貯量降至零時，可以瞬間得到補充（即一次到貨），
3 需求是連續和均勻的，需求速度r是固定的常數，
4 每次訂貨量（生產量）q不變，訂購費用（生產準備費用）c3不變。
存貯狀態的變化情況可用圖7—4表示：
易知：平均保管費用=平均存貯量×單位保管費用，
平均訂購費用，
平均物品成本費用。
由此可以推得模型1的單位時間平均運營費用函式：
7．1）
上述函式為決策變數t的函式，其中 r,k,c1,c3都是已知常數。
模型2，不允許缺貨，且分批到貨。
模型1有乙個假定條件是一次到貨，即每次進貨時能瞬時全部入庫。但實際的存貯系統常常存在這樣一種情形，即所需貨物分批到貨，並按一定的速度入庫。因此模型2的假設條件與模型1相比，只需改寫第二條，即：
② 當庫存降至零時，以一定的供給率p得到補充（或稱分批到貨）。
模型2的存貯狀態的變化規律如圖7—6所示。
單位時間平均運營費用函式
可以推得最佳運營週期
最佳生產批量
最低運營費用
p→+∞時，，此時模型2拓變成模型1，兩組公式完全相同。因此模型1是模型2當 p→+∞時的特例。
模型3，允許缺貨，且一次到貨
把第1條假設改為：
1 允許缺貨，單位缺貨費用為c2，即可，其它假設條件不變。
因此模型1是模型3當c2→+∞時的特例。
t0時間內的最大缺貨量b0：
模型4，允許缺貨，且分批到貨
本模型是模型2和3的綜合，即同時對模型1的假設條件1和2進行修改:
① 允許缺貨,單位缺貨費用為c2，
② 分批到貨,以一定的**率p補充庫存。
其它條件不變。
最佳運營週期
最優經濟批量
最大缺貨量
最大存貯量
最低費用
二、案例及操作實踐
例1. (抽取題目：p368第11.5第2問)
對某電子原件每月需求量為40000件，每件成本為150元，每年的存貯費為成本的10%，每次訂購費為500元。求：允許缺貨（缺貨費為100元/（件.年）條件下的最優存貯策略。
第一種matlab程式求解過程：
解：根據題意，取一年為單位時間，由已知條件
訂貨費c3=500次/元， 單位存貯費 c1=10%*150=15元/（件·年） ， 單位缺貨費c2=100元/（件·年），需求速度 r=48 000件/年，貨物單價k=150元/件。
根據判斷，可知，該模型屬於允許缺貨，但補充時間極短的型別。利用書上的公式，可以程式設計如下：
c1=input('請輸入單位存貯費c1：');
c2=input('請輸入單位缺貨費c2：');
c3=input('請輸入訂貨費c3：');
r=input('請輸入需求速度r：');
k=input('請輸入貨物單價k：');
t=365*sqrt(2*c3*(c1+c2))/sqrt(c1*c2*r);
q=sqrt(2*c3*r*(c1+c2)) /sqrt(c1*c2);
tp=c1*t/(c1+c2);
a=sqrt(2*c2*r*c3) /sqrt((c1+c2)*c1);
b=sqrt(2*c1*r*c3) /sqrt((c1+c2)*c2);
c=2*c3/t;
輸出報告：
請輸入單位存貯費c1：15
請輸入單位缺貨費c2：100
請輸入訂貨費c3：500
請輸入需求速度r：48000
請輸入貨物單價k：150
>> t
t = 14.5873
>> q
q = 1.9183e+003
>> tp
tp =
1.9027
>> a
a = 1.6681e+003
>> b
b = 250.2173
>> c
c = 68.5527
結果分析：
由程式執行結果，可知最優存貯週期為14.6天，經濟生產批量為1918.3件，生產時間為1.
9天，最大存貯量為1668.1件，最大缺貨量為250.2件，平均總費用為68.
5元。第二種lingo程式求解過程
根據題意，取一年為單位時間，由已知條件
訂貨費cd=500次/元存貯費 cp=10%*150=15元/（件·年） 缺貨損失費cs=100元/（件·年）
需求率 d=48 000件/年
編寫 lingo 程式如下
model:
min=0.5*c_p*(q-s)^2/q+c_d*d/q+0.5*c_s*s^2/q;
n=d/q;@gin(n);
data:
c_d=500;
d=48000;
c_p=15;
c_s=100;
enddata
end執行結果
local optimal solution found.
objective value25021.74
extended solver steps3
total solver iterations1017
variablevalue reduced cost
c_p 15.000000.000000
q 1920.0000.000000
s 250.43480.000000
c_d 500.00000.000000
d 48000.000.000000
c_s 100.00000.000000
n 25.000000.8695667
結果分析：
由程式執行結果，可知最優存貯週期為15天，經濟生產批量為1918.3件，生產時間為1.9天，最大存貯量為1668.
1件，最大缺貨量為250.2件，平均總費用為68.5元。
例2. (書中例題：p349 例1)
某商品單位成本為5 元，每天保管費為成本的0.1%，每次定購費為10 元。已知對該商品的需求是100 件/天，不允許缺貨。
假設該商品的進貨可以隨時實現。問應怎樣組織進貨，才能最經濟。
解： 根據題意，cp = 5×0.1% = 0.005 （元/件·天）， cd=10元，
d =100件/天。
由公式式有===632件
==632/100=6.32天
所以，應該每隔6.32 天進貨一次，每次進貨該商品632 件，能使總費用（存貯費和定購費之和）為最少，平均約3.16 元/天。
進一步研究，全年的訂貨次數為n==57.75次。但n必須為正整數，故還需要比較n = 57 與n = 58時全年的費用。
最優化方法的matlab實現
在生活和工作中，人們對於同乙個問題往往會提出多個解決方案，並通過各方面的論證從中提取最佳方案。最優化方法就是專門研究如何從多個方案中科學合理地提取出最佳方案的科學。由於優化問題無所不在，目前最優化方法的應用和研究已經深入到了生產和科研的各個領域，如土木工程 機械工程 化學工程 運輸排程 生產控制 經...
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