第五章學習小結
姓名苗思源班級機自141210 學號20141203101
本章學習體會
在第五六章的學習中，我學習到了特徵值與特徵向量的求法和性質，矩陣對角化的幾種方法。但在學習中還是發現了不少問題，比如說在比較複雜的矩陣中不會求解特徵值。這兩章的知識全都圍繞矩陣的特徵值展開，必須熟練掌握求解方法。
本章知識梳理
一、矩陣的特徵值的定義
定義1：設為n階矩陣，是乙個數，如果存在非零n維向量，使得：，則稱是矩陣的乙個特徵值，非零向量為矩陣的屬於（或對應於）特徵值的特徵向量。
下面討論一般方陣特徵值和它所對應特徵向量的計算方法。
設是n階矩陣，如果是的特徵值，是的屬於的特徵向量，
則因為是非零向量，這說明是齊次線性方程組
的非零解，而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其係數矩陣的行列式等於零，即
＝0而屬於的特徵向量就是齊次線性方程組的非零解。
求矩陣的特徵值及特徵向量的步驟：
（1）計算；
（2）求＝0的全部根，它們就是的全部特徵值；
（3）對於矩陣的每乙個特徵值，求出齊次線性方程組的乙個基礎解系：，其中為矩陣的秩；則矩陣的屬於的全部特徵向量為：
其中為不全為零的常數。
二、特徵值、特徵向量的基本性質
（1）如果是的屬於特徵值的特徵向量，則一定是非零向量，且對於任意非零常數k，k也是的屬於特徵值的特徵向量。
（2）如果是的屬於特徵值的特徵向量,則當時，也是的屬於特徵值的特徵向量。
證： ）＝
（3）n階矩陣a與它的轉置矩陣有相同的特徵值。
（4）設，則
（a）（b）
(5）設是a的特徵值，且是a屬於的特徵向量，則
（a）是的特徵值，並有（）＝（）
（b）是的特徵值， ＝
（c）若a可逆，則且是的特徵值， ＝。
三、相似矩陣的定義
定義1：設a、b為n階矩陣，如果存在n階可逆矩陣p，使得成立，則稱矩陣a與b相似，記作。
四、相似矩陣的性質
相似矩陣具有下述性質：
（1） 反身性：對任意n階方陣a，都有。（）
（2） 對稱性：若，則。（因）
（3） 傳遞性：若，。則。
由， 。
（4） 若n階矩陣a、b相似，則它們具有相同的特徵值。
（5） 若n階矩陣a、b相似，則它們具有相同的特徵值。
（6） 若n階矩陣a、b相似，則它們具有相同的跡。
（7） 若n階矩陣a、b相似，則它們具有相同的秩。
（8） 若n階矩陣a、b相似，即。則（k為任意非負整數）且。
五、方陣對角化
定義2：若方陣a可以和某個對角矩陣相似，則稱矩陣a可對角化。
定理1：設為n階矩陣a的不同特徵值。分別是屬於的特徵向量，則線性無關。
定理2：n階矩陣a相似於對角陣的充分必要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
推論：若n階矩陣a有n個相異的特徵值，則矩陣a一定可對角化。
定理3：設是n階矩陣a的特徵多項式的k重根，則a的屬於特徵值的線性無關的特徵向量個數最多有k個。
定理4：設n階矩陣a有m個不同特徵值。設是矩陣a的屬於的線性無關的特徵向量，則向量組，線性無關。
定理5：，即對每乙個重特徵值， ()x=0的基礎解系含有個向量
六、實對稱陣的對角化
定理1：實對稱矩陣的特徵值都是實數。
定理2：實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量是正交的。
我們還可以證明：如果實對稱矩陣a的特徵值的重數是k，則恰好有k個屬於特徵值的線性無關的特徵向量。如果利用施密特正交化方法把這k個向量正交化，它們仍是矩陣a的屬於特徵值的特徵向量。
定理3：設a為n階實對稱矩陣，則存在n階正交矩陣q，使為對角陣。
實對稱陣對角化的步驟：
1） 求全部不同的根，它們是a的全部不同的特徵值；
2） 對於每個特徵值（重根），求齊次線性方程組的乙個基礎解系：，利用施密特正交化方法將其正交化，再將其單位化得：；
3） 在第二步中對每個特徵值得到一組標準正交向量組組合為乙個向量組：
共有個。它們是n個向量組成的標準正交向量組。以其
為列向量組的矩陣q就是所求正交矩陣。
4）＝，其主對角線元素依次為：
本章思考題
1． 已知矩陣有乙個特徵向量，求的值。
解：由已知有：
＝得：， 所以有：
2. 求正交矩陣q，使為對角陣，其中。
解： 得a的特徵值為：
分別求出屬於的線性無關的向量為：
，， 則是正交的，再將單位化，得：
，，。令，則
3.設3階實對稱矩陣a的特徵值是1，2，3；矩陣a的屬於特徵值1，2的特徵向量分別為，。
（1）求a的屬於3的特徵向量；（2）求矩陣a。
解：（1）設a的屬於3的特徵向量為，
因為是實對稱矩陣a的屬於不同特徵值的特徵向量，所以兩兩正交，故有：
即得一線性方程組：，解得非零解為，則a的屬於3的特徵向量為（為非零常數）。
（2） 將單位化得：
，， 令
則有；故
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