林伊寧（廣西建設工程質量安全監督總站，南寧，530022）
卷首語2023年7月底，中國計算力學大會2023年年會暨第七屆南方計算力學學術會議在湖北宜昌召開。會上共發布了254篇**，發布時間限制為每篇10分鐘，評委提問2分鐘。本文有幸在會上發布，並承蒙評委厚愛破例得到10分鐘的提問。
會議期間，作者拜訪了與會的中國工程院某院士，想和他討論關於尤拉公式的問題，院士說：「你還是多讀些書吧，尤拉公式已經使用100多年了，沒有問題的」，一口回絕了作者。
作為世界公認的經典公式，尤拉公式如果有錯，此錯必定很隱蔽，否則它就不會成為經典。要討論這些隱蔽的錯誤，不是10分鐘就能說清楚的，更不是院士的一句「沒有問題」就能欽定的。
對於尤拉公式存在的問題，作者整整思考了一年，文中所述內容都經過了深思熟慮。如果你對此有興趣，不妨暫時拋開尤拉必然正確的成見，與作者一起闖一闖尤拉布下的迷宮,然後再作出判斷：尤拉公式到底是對還是錯？
歡迎對本文進行討論，郵件請發往：並請註明：「尤拉公式討論」。
作者：林伊寧
2023年10月15日
特別說明：
作者曾撰寫《重建建築施工模板支架安全的力學理論體系》一文，將其發表於《建築安全》雜誌（刊號）,在該雜誌的2023年11月號、12月號及2023年1月號上**。該文已對壓桿穩定尤拉公式的錯誤作了分析。現作者將該文有關內容摘出，修改補充後寫成本文，以作學術討論之用。
目錄0 引言 1
1 尤拉公式的推導過程 1
1．1 尤拉公式的力學模型 1
1．1．1 真實狀態下的壓彎 1
1．1．2 理想狀態下的失穩 1
1．2 尤拉公式的推導 1
1．2．1 臨界力尤拉公式的推導 1
1．2．2 臨界應力尤拉公式的推導 3
2 對尤拉公式錯誤的剖析 3
2．1 乙個反例 3
2．2 壓桿臨界狀態不存在 3
2．2．1 尤拉無法證明臨界狀態存在 3
2．2．2 真實狀態下的壓桿臨界狀態不存在 4
2．2．3 理想狀態下的壓桿臨界狀態不存在 5
2．2．4 對實驗結果的看法 6
2．3 臨界力尤拉公式的錯誤 6
2．4 臨界應力尤拉公式的錯誤 7
2．5 「理想狀態」之說抹不去尤拉的錯誤8
2．6 結論8
3 結束語 9
林伊寧（廣西建設工程質量安全監督總站，南寧，530022）
摘要分析尤拉公式之後發現：壓桿臨界狀態不存在，尤拉公式的推導過程和所得結果是錯誤的。
關鍵詞尤拉公式，臨界狀態，臨界力，臨界應力
0 引言
壓桿穩定尤拉公式（以下簡稱「尤拉公式」），是材料力學的經典公式，是壓桿計算的理論基礎。但是，近年來南京、杭州、北京、南寧、鄭州、侯馬（山西）、合肥、長沙等地施工模板相繼垮塌的事實表明，現行的壓桿計算理論有缺陷。對壓桿計算理論溯源後發現，其所依據的尤拉公式是錯誤的。
為使論述過程完整，本文在第1章摘引出尤拉公式推導的全過程，在第2章對其錯誤進行剖析。
1 尤拉公式的推導過程
1．1 尤拉公式的力學模型
1．1．1 真實狀態下的壓彎
細長杆受壓會變彎，原因是受加工精度限制和材料不均勻的影響，使得桿件的質心軸是一條未知曲線，壓力的作用線與質心軸不可能重合，偏心距不為零。細長杆受壓總會變彎如圖1所示，此種彎曲稱為壓彎，由壓彎引起的破壞稱為壓彎破壞。壓彎破壞是真實的破壞形式。
1．1．2 理想狀態下的失穩
既然各桿件均有各自未知的質心軸，所施加的壓力p又根本不可能與質心軸重合，因此，以壓杆的真實受力狀態為依據來推導壓桿的一般計算公式是不可能的。於是在理想狀態下，尤拉建立了壓桿臨界狀態力學模型（本文僅以一端固定另一端自由的壓桿為例）：
假想有一理想直杆，其質心軸與豎向壓力p的作用線重合，在p作用下桿不發生彎曲變形。在杆端加一橫向干擾力q，此時杆發生彎曲變形如圖2（a）的虛線所示。若p小於某一臨界值per，在撤去q之後，杆恢復直線形狀如圖2（b），此時的杆處於穩定平衡狀態。
當p等於某一臨界值per時，在撤去q之後，杆無法恢復直線形狀仍舊彎曲，此時的杆處於不穩定平衡狀態，已喪失承載力如圖2（c）。當p繼續增大時，杆發生大彎曲而破壞。per稱為 「臨界力」。
在per作用下桿的受力狀態稱為「臨界狀態」，其平衡性質由直線形狀的穩定平衡轉化為曲線形狀的不穩定平衡。平衡喪失穩定性稱為「失穩」，由「失穩」引起的破壞稱為「失穩破壞」。
這是尤拉公式的力學模型，其中的臨界狀態是假想狀態，失穩破壞是假想的破壞形式。
1．2 尤拉公式的推導
1．2．1 臨界力尤拉公式的推導
尤拉借用梁在純彎曲狀態下的撓曲線近似微分方程：
1)由圖3，得：
2)代入式（1），得：
3)令，代入式（3），得：
4)式（4）的通解為：
5)式（5）取一階導數，得：
6)邊界條件
在處：，』
在處：＝
將邊界條件分別代入式（5）、式（6），得：
， 再代入式（5），得：
7)8)
令，使式（8）成立，解出：
9)取最小解：
由於設定
所以：於是得到一端固定另一端自由的壓桿臨界力尤拉公式：
10)對於各種約束條件下的壓桿臨界力，用統一表示式表達：
11)這便是壓桿臨界力尤拉公式的一般表示式。
所謂臨界力，其含義是，當桿件承受的荷載達到時，桿件便喪失承載能力。
1．2．2 臨界應力尤拉公式的推導
將臨界力除以杆的截面積，再作一系列的數學變換，得到臨界應力尤拉公式：
12)13)
14)15)
式中，，，是簡單的數學變換，（12）、（13）、（14）、（15）四式的意義是一樣的，所以在分析問題時，用其中乙個式子便可。
2 對尤拉公式錯誤的剖析
2．1 乙個反例
設管材支架材料的彈性模量為e，管外徑為d，內徑為d，支架中某杆的計算長度為，受壓，求其臨界應力並作分析。
將已知條件代入式（12），求得杆的臨界應力為：
按尤拉假設的原意，所謂臨界應力，其含義應該是，當桿件橫截面上的應力達到時，桿件便喪失承載能力。
觀察本例的，在管外徑d不變的情況下，內徑d越大（即管越薄），值就越大，壓桿就越不容易喪失承載能力。當d無限接近d時，無限接近最大值。換句話說，管材壓桿，壁越薄其承載能力就越強，用相同材料製作，外徑相同時，易拉罐強於正常壁厚的管，於是可以節約大量的鋼材。
這是乙個違反常識的破綻，正因為這個破綻，使得尤拉公式的深層錯誤得以發現。
2．2 壓桿臨界狀態不存在
臨界狀態：如圖3撤去橫向干擾力q後，當時，當時。
2．2．1 尤拉無法證明臨界狀態存在
考察尤拉公式推導過程中的式（8），可知尤拉自己無法證明臨界狀態的存在。
8)當時，式（8）成為：。
即可以取任意值，可以為零也可以不為零。於是從中，尤拉解出臨界力：
尤拉認為，只要豎向力p值在
範圍內，杆端回彈原位（在的關係中有存在的可能性）。
但尤拉未考慮到問題的另乙個方面，即當時，式（8）也成立。此時式（8）成為：，這才是撤去橫向干擾力q後，杆端彈回原位的確切表示式。
所以通過可以求出使杆端彈回原位的豎向力的值。(教科書認為不合題意而將其排除的做法是錯誤的)
重複1．2．1的推導過程，並將換為，當推導到式（8）時，令，解出：
、、比較和，有：
0除外）
可見，除非豎向力為零，否則在撤去橫向干擾力q之後，所有能使杆彈回原位的豎向力值均不在尤拉所設定的範圍之內，可見：
尤拉公式在推導過程中自相矛盾，尤拉無法證明自己假設的合理性，尤拉公式成立的前提條件——壓桿臨界狀態沒有存在的依據。
2．2．2 真實狀態下的壓桿臨界狀態不存在
為便於研究，設桿的橫截面為矩形，截面高度為h，**彈性範圍內工作。杆受壓時，其截面上的應力狀態無非是以下三種情況之中的一種：
圖4所示的p力偏心距e不超出某一範圍，杆橫截面上全部應力都是壓應力並呈梯形分布。
圖5所示的p力偏心距達到界點（即截面上即將出現拉應力）。從離p最遠一點應力為零的條件可知截面上的應力是壓應力並呈三角形分布，其合力n與外力p等值、反向、共線。於是可求出界點應力狀態下p的偏心距為：
圖6所示的p力偏心距e大於，截面上出現拉應力，是拉應力和壓應力並存的壓彎應力狀態。
這三種應力狀態中：
a．圖4和圖5所示的應力狀態均為偏心受壓狀態，截面上無拉應力存在，無中性軸，不屬於彎曲問題；
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