一、選擇題
1.把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在右圖中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆蘭花不能放在一條直線上，則不同的擺放方法有
a．2 680種b．4 320種
c．4 920種d．5 140種
解析：先將7盆花全排列，共有a種排法，其中3盆蘭花排在一條直線上的排法有5aa種，故所求擺放方法有a－5aa＝4 320種．
答案：b
2．(2011·大綱全國卷)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有
a．4種b．10種
c．18種d．20種
解析：依題意，就所剩餘的是一本畫冊還是一本集郵冊進行分類計數：第一類，剩餘的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩餘的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有c＝6種．因此，滿足題意的贈送方法共有4＋6＝10種．
答案：b
3．(2011·豫南九校聯考)將5名同學分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數為
a．80b．120
c．140d．50
解析：當甲組中有3人，乙、丙組中各有1人時，有cc＝20種不同的分配方案；
當甲組中有2人，乙組中也有2人，丙組中只有1人時，有cc＝30種不同的分配方案；
當甲組中有2人，乙組中有1人，丙組中有2人時，有cc＝30種不同的分配方案．
故共有20＋30＋30＝80種不同的分配方案．
答案：a
4．現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志願者服務活動，每人從事翻譯、導遊、禮儀、司機四項工作之一．每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
a．152b．126
c．90d．54
解析：考慮特殊元素(位置)優先安排法．
第一類：在丙、丁、戊中任選一位擔任司機工作時有cca＝108.
第二類：在丙、丁、戊中任選兩位擔任司機工作時，有ca＝18，
∴不同安排方案的種數是108＋18＝126.
答案：b
5．研究性學習小組有4名同學要在同一天的上、下午到實驗室做a，b，c，d，e五個操作實驗，每位同學上、下午各做乙個實驗，且不重複，若上午不能做d實驗，下午不能做e實驗，則不同的安排方式共有
a．144種b．192種
c．216種d．264種
解析：根據題意得，上午要做的實驗是a，b，c，e，下午要做的實驗是a，b，c，d，且上午做了a，b，c實驗的同學下午不再做相同的實驗．先安排上午，從4位同學中任選一人做e實驗，其餘三人分別做a，b，c實驗，有c·a＝24種安排方式．再安排下午，分兩類：①上午選e實驗的同學下午選d實驗，另三位同學對a，b，c實驗錯位排列，有2種方法，則不同的安排方式有n1＝1×2＝2種；②上午選e實驗的同學下午選a，b，c實驗之一，另外三位從剩下的兩項和d一共三項中選，但必須與上午的實驗專案錯開，有3種方法，則不同的安排方式有n2＝c·3＝9種，於是，不同的安排方式共有n＝24×(2＋9)＝264種．
答案：d
6．某省高中學校自實施素質教育以來，學生社團得到迅猛發展．某校高一新生中的五名同學打算參加「春暉文學社」、「舞者輪滑俱樂部」、「籃球之家」、「圍棋苑」四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加乙個社團且只能參加乙個社團，且同學甲不參加「圍棋苑」，則不同的參加方法的種數為
a．72b．108
c．180d．216
解析：設五名同學分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加「圍棋苑」，有下列兩種情況：
(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加「圍棋苑」，有c種方法，然後從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)並成一組與甲、戊分配到其他三個社團中，有ca種方法，這時共有cca種參加方法；
(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加「圍棋苑」，有c種方法，甲與丁、戊分配到其他三個社團中有a種方法，這時共有ca種參加方法；
綜合(1)(2)，共有cca＋ca＝180種參加方法．
答案：c
二、填空題
7．(2012·丹東模擬)5名男性驢友到某旅遊風景區遊玩，晚上入住一家賓館，賓館有3間客房可選，一間客房為3人間，其餘為2人間，則5人入住兩間客房的不同方法有______種(用數字作答)．
解析：由題意可知，5人入住的兩間客房為一間3人間和一間2人間，則所求的不同方法有cc＝20種．
答案：20
8．將數字1,2,3,4,5按第一行2個數，第二行3個數的形式隨機排列，設ai(i＝1,2)表示第i行中最小的數，則滿足a1>a2的所有排列的個數是用數字作答)
解析：依題意數字1必在第二行，其餘數字的位置不限，共有aa＝72個．
答案：72
9．從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________種．
解析：先從6雙手套中任取一雙，有c種取法，再從其餘手套中任取2只，有c種取法，其中取到一雙同色手套的取法有c種．故總的取法有c (c－c)＝240種．
答案：240
三、解答題
10．山東魯能、上海申花、天津泰達與杭州綠城四家中國足球俱樂部參加了2023年亞洲足球俱樂部冠軍聯賽，為了打出中國足球的精神面貌，足協想派五名**給這四支球隊做動員工作，每個俱樂部至少派一名**，且甲、乙兩名**不能到同一家俱樂部，共有多少種不同的安排方法？
解：法一：根據題意，可根據甲、乙兩人所去俱樂部的情況進行分類：
(1)甲乙兩人都單獨去乙個俱樂部，剩餘三人中必有兩人去同一家俱樂部，先從三人中選取兩人組成一組，與其他三人組成四個組進行全排列，則不同的安排方法有ca＝3×24＝72(種)；
(2)甲、乙兩人去的俱樂部中有乙個是兩個人，從剩餘三人中選取一人與甲或乙組成一組，和其他三人形成四個小組進行全排列，則不同的安排方法有cca＝2×3×24＝144(種)．
所以不同的安排方法共有72＋144＝216種．
法二：如果甲、乙兩人可以去同一家俱樂部，則先從五人中選取兩人組成一組，與其他三人形成四個小組進行全排列，則不同的安排方法共有ca＝10×24＝240種；
而甲、乙兩人去同一家俱樂部的安排方法有ca＝24種．
所以甲、乙兩人不能去同一家俱樂部的安排方法共有240－24＝216種．
11.編號為a，b，c，d，e的五個小球放在如圖所示的五個盒子裡，要求每個盒子只能放乙個小球，且a球不能放在1,2號，b球必須放在與a球相鄰的盒子中，不同的放法有多少種？
解：根據a球所在位置分三類：
(1)若a球放在3號盒子內，則b球只能放在4號盒子內，餘下的三個盒子放球c、d、e，則根據分步計數原理得，此時有a＝6種不同的放法；
(2)若a球放在5號盒子內，則b球只能放在4號盒子內，餘下的三個盒子放球c、d、e，則根據分步計數原理得，此時有a＝6種不同的放法；
(3)若a球放在4號盒子內，則b球可以放在2號、3號、5號盒子中的任何乙個，餘下的三個盒子放球c、d、e，有a＝6種不同的放法，根據分步計數原理得，此時有aa＝18種不同的放法．綜上所述，由分類計數原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．
12．從7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數有多少種？
(1)a，b必須當選；
(2)a，b必不當選；
(3)a，b不全當選；
(4)至少有2名女生當選；
(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．
解：(1)由於a，b必須當選，那麼從剩下的10人中選取3人即可，∴有c＝120(種)．
(2)從除去的a，b兩人的10人中選5人即可，
∴有c＝252(種)．
(3)全部選法有c種，
a，b全當選有c種，
故a，b不全當選有c－c＝672種．
(4)注意到「至少有2名女生」的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進行，
∴有c－c·c－c＝596(種)．
(5)分三步進行：
第一步：選1男1女分別擔任兩個職務為c·c；
第二步：選2男1女補足5人有c·c種；
第三步：為這3人安排工作有a.
由分步乘法計數原理共有
c·c·c·c·a＝12 600(種)．
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