數學概念、方法、題型、易誤點技巧總結——圓錐曲線
1.定義:中要重視「括號」內的限制條件：
橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常數一定要大於，當常數等於時，軌跡是線段ff，當常數小於時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點f，f的距離的差的絕對值等於常數，且此常數一定要小於|ff|，定義中的「絕對值」與＜|ff|不可忽視。若＝|ff|，則軌跡是以f，f為端點的兩條射線，若﹥|ff|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。
比如：①已知定點，在滿足下列條件的平面上動點p的軌跡中是橢圓的是
a． b．
c． d．（答：c）；
②方程表示的曲線是_____
2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，座標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：
（1）橢圓：焦點在軸上時（）（引數方程，其中為引數），焦點在軸上時＝1（）。方程表示橢圓的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b，c同號，a≠b）。比如：
①已知方程表示橢圓，則的取值範圍為____（答：）；
②若，且，則的最大值是____，的最小值是___（答：）
（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：＝1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什麼？（abc≠0，且a，b異號）。比如：
①雙曲線的離心率等於，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_______（答：）；
②設中心在座標原點，焦點、在座標軸上，離心率的雙曲線c過點，則c的方程為_______（答：）
（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。
3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然後再判斷）：
（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的座標軸上。
如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值範圍是__（答：）
（2）雙曲線：由,項係數的正負決定，焦點在係數為正的座標軸上；
（3）拋物線：焦點在一次項的座標軸上，一次項的符號決定開口方向。
特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點f，f的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的型別，而方程中的兩個引數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。
4.圓錐曲線的幾何性質：
（1）橢圓（以（）為例）：①範圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線；
⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。比如：
①若橢圓的離心率，則的值是__（答：3或）；
②以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為__（答：）
（2）雙曲線（以（）為例）：①範圍：或；②焦點：
兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，乙個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線：兩條準線； ⑤離心率：
，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。比如：
①雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等於______（答：或）；
②雙曲線的離心率為，則= （答：4或）；
③設雙曲線（a>0,b>0）中，離心率e∈[,2],則兩條漸近線夾角θ
的取值範圍是________（答：）；
（3）拋物線（以為例）：①範圍：；②焦點：
乙個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有乙個頂點（0,0）；④準線：
一條準線； ⑤離心率：，拋物線。
如設，則拋物線的焦點座標為________（答：）；
5、點和橢圓（）的關係：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；（3）點在橢圓內
6．直線與圓錐曲線的位置關係：
（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有乙個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有乙個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。比如：
①若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值範圍是_______（答：(-,-1)）；
②直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值範圍是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；
③過雙曲線的右焦點直線交雙曲線於a、b兩點，若│ab︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）；
（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；
（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。
特別提醒：
（1）直線與雙曲線、拋物線只有乙個公共點時的位置關係有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有乙個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有乙個交點；
（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有乙個公共點的情況如下：①p點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②p點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③p在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④p為原點時不存在這樣的直線；
（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有乙個公共點：兩條切線和一條平行於對稱軸的直線。比如：
①過點作直線與拋物線只有乙個公共點，這樣的直線有______（答：2）；
②過點(0,2)與雙曲線有且僅有乙個公共點的直線的斜率的取值範圍為______（答：）；
③過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線於a、b兩點，若4，則滿足條件的直線有____條（答：3）；
④對於拋物線c：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線c的位置關係是_______（答：相離）；
⑤過拋物線的焦點作一直線交拋物線於p、q兩點，若線段pf與fq的長分別是、，則_______（答：1）；
⑥設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別於，則和的大小關係為填大於、小於或等於) （答：等於）；
⑦求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；
⑧直線與雙曲線交於、兩點。①當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當為何值時，以ab為直徑的圓過座標原點？（答：①；②）；
7、焦半徑（圓錐曲線上的點p到焦點f的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第
二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示p到與f所對應的準線的距離。比如：
①已知橢圓上一點p到橢圓左焦點的距離為3，則點p到右準線的距離為____（答：）；
②已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等於5，則它到拋物線的焦點的距離等於____；
③若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的座標為_____（答：）；
④點p在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點p的橫座標為_______（答：）；
⑤拋物線上的兩點a、b到焦點的距離和是5，則線段ab的中點到軸的距離為______（答：2）；
⑥橢圓內有一點，f為右焦點，在橢圓上有一點m，使之值最小，則點m的座標為_______（答：）；
8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、餘弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ①＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對於雙曲線的焦點三角形有：
①；②。比如：①短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓於a、b兩點，則的周長為________（答：
6）；②設p是等軸雙曲線右支上一點，f1、f2是左右焦點，若，|pf1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；
③雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，f1、f2是它的左右焦點，若過f1的直線與雙曲線的左支交於a、b兩點，且是與等差中項，則答：）；
④已知雙曲線的離心率為2，f1、f2是左右焦點，p為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標準方程（答：）；
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設ab為焦點弦， m為準線與x軸的交點，則∠amf＝∠bmf；（3）設ab為焦點弦，a、b在準線上的射影分別為a，b，若p為ab的中點，則pa⊥pb；（4）若ao的延長線交準線於c，則bc平行於x軸，反之，若過b點平行於x軸的直線交準線於c點，則a，o，c三點共線。
10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點a、b，且分別為a、b的橫座標，則＝，若分別為a、b的縱座標，則＝，若弦ab所在直線方程設為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：
焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，利用第二定義求解。比如：
①過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線於a（x1，y1），b（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那麼|ab|等於_______（答：8）；
②過拋物線焦點的直線交拋物線於a、b兩點，已知|ab|=10，o為座標原點，則δabc重心的橫座標為_______（答：3）；
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用「韋達定理」或「點差法」求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。
比如：①如果橢圓弦被點a（4，2）平分，那麼這條弦所在的直線方程是 （答：）；
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