2023年普通高等學校春季招生考試
數學（理工農醫類）（北京卷）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、的共軛複數是（ ）a． b． c． d．
2、函式y=|log2x|的圖象是（ ）
3、有如下三個命題：
①分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線；
②垂直於同乙個平面的兩條直線是平行直線；
③過平面的一條斜線有乙個平面與平面垂直。
其中正確命題的個數為（ ）
a．0b．1c．2d．3
4、如果函式的最小正週期是t，且當時取得最大值，那麼（ ）
a． b． c． d．
5、設，「」是「曲線為橢圓」的（ ）
a．充分非必要條件b．必要非充分條件
c．充分必要條件d．既非充分又非必要條件
6、已知雙曲線的兩個焦點為，，p是此雙曲線上的一點，且，，則該雙曲線的方程是（ ）
a． b． c． d．
7、在中，已知，那麼一定是（ ）
a．直角三角形 b．等腰三角形 c．等腰直角三角形 d．正三角形
8、若不等式對於任意正整數恆成立，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
910、已知，那麼的值為_____，的值為_____。
11、若圓與直線相切，且其圓心在軸的左側，則的值為
12、如圖，正方體的稜長為，將該正方體沿對角面切成兩塊，再將這兩塊拼接成乙個不是正方體的四稜柱，那麼所得四稜柱的全面積為
13、從這四個數中選三個不同的數作為函式的係數，可組成不同的二次函式共有個，其中不同的偶函式共有個。（用數字作答）
14、若關於的不等式的解集為，則實數的取值範圍是若關於的不等式的解集不是空集，則實數的取值範圍是
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15、（本小題滿分12分）設函式的定義域為集合m，函式的定義域為集合n。求：
（1）集合m，n；
（2）集合，。
16、（本小題滿分14分）如圖，正三角形abc的邊長為3，過其中心g作bc邊的平行線，分別交ab、ac於、。將沿折起到的位置，使點在平面上的射影恰是線段bc的中點m。求：
（1）二面角的大小；
（2）異面直線與所成角的大小（用反三角函式表示）。
17、（本小題滿分14分）已知是等比數列，，；是等差數列，，。
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和的公式；
（3）設，，其中，試比較與的大小，並證明你的結論。
18、（本小題滿分14分）如圖，o為座標原點，直線在軸和軸上的截距分別是和，且交拋物線於、兩點。
（1）寫出直線的截距式方程；
（2）證明：；
（3）當時，求的大小。
19、（本小題滿分13分）經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度（千公尺/小時）之間的函式關係為：。
（1）在該時段內，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時）
（2）若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時，則汽車站的平均速度應在什麼範圍內？
20、（本小題滿分13分）現有一組互不相同且從小到大排列的資料：，其中。為提取反映資料間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記，，，作函式，使其圖象為逐點依次連線點的折線。
（1）求和的值；
（2）設的斜率為，判斷的大小關係；
（3）證明：當時，；
（4）求由函式與的圖象所圍成圖形的面積（用表示）。
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