三角公式總表
l弧長=r= s扇=lr=r2=
正弦定理：=== 2r（r為三角形外接圓半徑）
餘弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab
s⊿=a=ab=bc=ac==2r
====pr=
(其中, r為三角形內切圓半徑)
同角關係：
商的關係： ===
倒數關係：
平方關係：
（其中輔助角與點（a,b）在同一象限，且）
函式y=k的圖象及性質：（）
振幅a，週期t=, 頻率f=, 相位，初相
五點作圖法：令依次為求出x與y， 依點作圖
誘導公試
三角函式值等於的同名三角函式值，前面加上乙個把看作銳角時，原三角函式值的符號；即：函式名不變，符號看象限
三角函式值等於的異名三角函式值，前面加上乙個把看作銳角時，原三角函式值的符號;即：函式名改變，符號看象限和差角公式
其中當a+b+c=π時,有:
). ).
二倍角公式：(含萬能公式)
三倍角公式：
半形公式：（符號的選擇由所在的象限確定）
積化和差公式：
和差化積公式：
反三角函式：
最簡單的三角方程
第六講高考第17題訓練（一）
說明：高考的第17題比較簡單，09考得是簡單的三角函式，分值為12分。
和差公式
倍角高考第17題原題
17．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
已知向量
（ⅰ）求向量的長度的最大值；
（ⅱ）設，且，求的值。
答案（1）所以向量的長度的最大值為2.
w.（2）。
……。……。於是。
2023年全國各地優秀模擬訓練
1、（2009北京4月）（5分）若（ ）
a、第一象限角 b、第二象限角 c、第三象限角 d、第四象限角
2、（2009北京高三上期末）（6分）將函式的影象按向量平移後得到函式的影象，那麼（ ）
ab、cd、
3、（2009北京高三上期末）（5分）在△abc中，∠c=120°，，則的值為（ ）
abcd、
4、（2009湖北八校聯考二）已知為偶函式，且，則的值為6分)
5、（2009湖北五市聯考）若，則6分）
6、（2009武漢2月）已經函式
（1）求函式的定義域；
（2）求函式在上的單調區間。
7、（2009湖北八校聯考一）已經函式
（1）若，求的值。
（2）若，求的值域。
8、（2009北京4月）在△abc中，角a、b、c所對的三邊分別是、、，已知， 60°。
（1）求的值及三角形的面積；
（2）求的值。
9、（2009北京高三抽樣）在△abc中，角a、b、c所對的三邊分別是、、，且三邊長度互不相等。已知。
（1）求的值；（2）求的值。
10、（2009武漢4月）已知函式，其定義域為，最大值為6。
（1）求常數m的值；
（2）求函式的單調遞增區間。
三角函式的圖象、性質重要講解分析
江蘇鄭邦鎖
1．研究乙個含三角式的函式的性質時一般先將函式化為y=asin(ωx+φ)+b或y=acos(ωx+φ)+b的形式。[注意]：函式y=|asin(ωx+φ)|的週期是函式y=asin(ωx+φ)週期的一半。
[舉例]函式在時有最大值，則的乙個值是,
abc、 d、
解析：原函式可變為：，它在時有最大值，即=2k+
=（k-1）+，k∈z，選a。（萬不可分別去研究和的最大值）。
[鞏固] ①函式y＝sin2xcos2x的最小正週期是 ；
②函式y=tanx―cotx的週期為函式y=|+sim|的週期為 。
2．在解決函式y=asin(ωx+φ)的相關問題時，一般對ωx+φ作「整體化」處理。如：用「五點法」作函式y=asin(ωx+φ)的圖象時，應取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取x等於它們；求函式y=asin(ωx+φ)的取值範圍時，應由x的範圍確定ωx+φ的範圍，再觀察三角函式的圖象（或單位圓上的三角函式線），注意：
只需作出y=sin (把ωx+φ視為乙個整體，即)的草圖，而無需畫y=asin(ωx+φ)的圖象；求函式y=asin(ωx+φ)（ω>0）的單調區間時，也是視ωx+φ為乙個整體，先指出ωx+φ的範圍，再求x的範圍；研究函式y=asin(ωx+φ)的圖象對稱性時，則分別令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈z）,從而得到函式y=asin(ωx+φ)的圖象關於直線對稱，關於點（，0）對稱（k∈z），（正、余弦函式圖象的對稱軸平行於y軸且過函式圖象的最高點或最低點，而對稱中心是圖象與「平衡軸」的交點）;對函式y=acos(ωx+φ)也作完全類似的處理。
[舉例1]畫出函式在[0，]內的圖象並指出其有無對稱軸、對稱中心。
解析：作函式的圖象不是先作函式的圖象，再由它伸宿、平移得到，而是直接描點作圖。但不是在[0，]內取=0、、、、這五點，而是視為乙個角，∈[，]，取=、、、、2、六個點，具體列表如下：
描點、作圖略。不難看出直線、都不是函式的對稱軸，點（，0）、（，0）也都不是函式圖象的對稱中心，因為定義域不關於它們對稱，所以無對稱軸、對稱中心。
[舉例2] 已知函式，（1）指出函式的對稱軸、對稱中心；
（2）指出函式的單調遞增區間；（3）函式在上的最大、最小值，並指出取得最大、最小值時的x的值。
解析： -，（1）對稱軸：由=+得，；
對稱中心：由=得，∴函式圖象的對稱中心為（，-）。（2）由∈[2- ，2+]得∈[，]，，
∴[，]，。（3）將視為乙個角，∵
∴∈，畫函式的草圖，觀察∈時函式值的範圍為[-1，]，當且僅當=時取得最小值-1， =時取得最大值；即=時原函式最小值-2-， =時原函式最大值1-。
[鞏固] [鞏固]有以下四個命題：①函式f(x)=sin(－2x)的乙個增區間是[，]；②若函式f(x)=sin(x+)為奇函式，則為的整數倍；③對於函式f(x)=tg(2x+)，若f(x1)=f(x2)，則x1－x2必是的整數倍；④函式y=2sin(2x+)的影象關於點（，0）對稱。
其中正確的命題是 （填上正確命題的序號）
[遷移] 函式f(x)=2sin2x+sin2x-1 （>0）
1 若對任意x∈r恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值；
2 若對任意x∈r恆f(x)≤f(1)，試判斷f(x+1)的奇偶性；
3 若f(x)在[0,]上是單調函式,求整數的值；
3．已知函式y=asin(ωx+φ)+b（a>0，ω>0）的圖象求表示式，一般先根據函式的最大值m、最小值m（最高、最低點的縱座標），確定a、b（a+b=m,-a+b= m）；根據相鄰的最大、最小值點間的距離d（最高、最低點的橫座標之差的絕對值）確定ω()，最後用最高（或最低）點的座標代入表示式確定φ。
[舉例] 已知函式y=asin(ωx+φ)(a>0,ω>0,0<φ<π)的兩個相鄰最值點為(,2), (,
－2),則這個函式的解析式為y
解析：a=2，相鄰最值點相距半個週期，即，∴t=πω=2，
則函式解析式為，點(,2)在函式圖象上，∴2=2sin(+φ)
+φ=2+得φ=2+，∴函式的解析式為。
[鞏固] 函式y=asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分圖象如右，
則函式表示式為：
a．y=－4sin(x+)，b．y=4sin(x－)，
c．y=－4sin(x－)，d．y=4sin(x+)
[遷移]如圖是乙個半徑為3公尺的水輪，水輪圓心o距離水面
2公尺，已知水輪每分鐘轉動四圈，水輪上的點p相對於水面
的高度y(公尺)與時間x(秒)滿足函式關係y=asin(x+)+b
（a>0， >0,0<<2),若x=0時，p在最高點，則函式
表示式為
4. 三角函式圖象的平移變換、伸縮變換遵循「圖進標退」原理:即圖象向上（右）平移m(m>0)個單位，則表示式中的y(x)應變為y-m(x-m);圖象橫（縱）座標變為原來的n倍，則表示式中的x(y)應變為()。
關注「先伸縮後平移」與「先平移後伸縮」的結果是不同的。
[舉例] 已知函式
（ⅰ）函式f（x）的圖象經過怎樣的平移才能使其對應的函式成為奇函式？
（ⅱ）函式f（x）的圖象經過怎樣的平移後得到y=cosx.。
解析：由得：，b=1，降次、「合二為一」後得： =sin(2x+),
(ⅰ)思路一：函式y= f（x）的圖象關於（－，0）對稱，向右平移個單位後圖象關於原點對稱即為奇函式（平移的方法不唯一，因為函式y= f（x）的圖象對稱中心不唯一）；
思路二：若函式f（x）的圖象向右平移m個單位得到函式y= sin(2x－2m+),要使其為奇函式，則x=0時函式值為0（奇函式圖象關於原點對稱），即－2m+=， m=
, ,隨的取值不同可以得到不同的m的值，回答其中任乙個即可。（運算量雖大一些，但更具一般性）。
(ⅱ) =sin(2x+)=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)],方案一：先左移(x變成x+)得到函式y= cos2x,再縱座標不變橫座標變為原來的2倍（x變成）得到函式y=cosx；
方案二：先縱座標不變橫座標變為原來的2倍（x變成）得到函式y= cos(x-)，再左移(x變成x+)得到函式y=cosx。注：
（ⅰ）圖象變換的問題要特別注意題目要求由誰變到誰，不要搞錯了方向；（ⅱ）變換的源頭和結果需化為同名的三角函式且角變數的係數同號（用誘導公式）才能實施；（ⅲ）如果已知變換的結果**變換的源頭，可以「倒行逆施」。
三角函式知識點及例習題
三角函式總複習教學資料 一 考綱要求 1.理解任意角的概念 弧度的意義，能正確進行弧度和角度的互換。2.掌握任意角的正弦 余弦 正切的定義，了解餘切 正割 餘割的定義，掌握同角三角函式的基本關係式，掌握正弦 余弦的誘導公式，理解週期函式與最小正週期的意義。3.掌握兩角和與兩角差的正弦 余弦 正切公式...
三角函式知識點配套習題
1.1 1 任意角 角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所形成的圖形 1 角的有關概念 角的定義 角可以看成平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所形成的圖形 角的名稱 角的分類 注意 在不引起混淆...
三角函式知識點總結
高中數學第四章 三角函式 考試內容 數學探索版權所有角的概念的推廣 弧度制 數學探索版權所有任意角的三角函式 單位圓中的三角函式線 同角三角函式的基本關係式.正弦 余弦的誘導公式 數學探索版權所有兩角和與差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 數學探索版權所有正弦函式 余弦函式的影象和性質 ...