數學探索版權所有了解對映的概念，理解函式的概念．
數學探索版權所有了解函式單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性、奇偶性的方法．
數學探索版權所有了解反函式的概念及互為反函式的函式影象間的關係，會求一些簡單函式的反函式．
數學探索版權所有理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念、影象和性質．
數學探索版權所有理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函式的概念、影象和性質．
數學探索版權所有能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題．
知識要點
一、本章知識網路結構：
二、知識回顧：
（一） 對映與函式
1. 對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼，x=(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式，記作,習慣上改寫成
（二）函式的性質
⒈函式的單調性
定義：對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
2.函式的奇偶性
7. 奇函式，偶函式：
⑴偶函式：
設（）為偶函式上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於軸對稱，例如：在上不是偶函式.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函式：
設（）為奇函式上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於原點對稱，例如：在上不是奇函式.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函式單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函式的定義域是內層函式的值域.
例如：已知函式f（x）= 1+的定義域為a，函式f[f（x）]的定義域是b，則集合a與集合b之間的關係是
解：的值域是的定義域，的值域，故，而a，故.
11. 常用變換：
①.證：②證：
12. ⑴熟悉常用函式圖象：
例：→關於軸對稱
→關於軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的係數之比.
（三）指數函式與對數函式
指數函式的圖象和性質
對數函式y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
（四）方法總結
⑴.相同函式的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
⑵.函式表示式的求法：①定義法；②換元法；③待定係數法.
⑶.反函式的求法：先解x,互換x、y，註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷.函式的定義域的求法：布列使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域.
常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②「判別式法」；③反函式法；④換元法；⑤不等式法；⑥函式的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變數，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關係：
①f(-x)=f(x)為偶函式；f(-x)=-f(x)為奇函式；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函式.
⑻.圖象的作法與平移：①據函式表示式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函式的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函式的圖象與對稱性描繪函式圖象.
補充：函式圖象的幾種常見變換
⑴平移變換：左右平移----「左加右減」（注意是針對而言）；上下平移----「上加下減」(注意是針對而言).
⑵翻摺變換：；.
⑶對稱變換：①證明函式影象的對稱性,即證影象上任意點關於對稱中心(軸)的對稱點仍在影象上.
②函式與的影象關於原點成中心對稱
③函式與的影象關於直線(軸)對稱；函式與函式的影象關於直線(軸)對稱；
④函式對時，或恆成立,則影象關於直線對稱；
⑤若對時,恆成立,則影象關於直線對稱；
⑥函式,的影象關於直線對稱(由確定)；
9.函式的週期性：⑴若對時恆成立,則的週期為；
⑵若是偶函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑶若奇函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑷若關於點,對稱,則的週期為；
⑸對時,或,則的週期為；
試題精粹
江蘇省2023年高考數學聯考試題
5．（江蘇天一中學、海門中學、鹽城中學2011屆高三調研考試）觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函式滿足，記為的導函式，則與的關係是0）
14．（江蘇天一中學、海門中學、鹽城中學2011屆高三調研考試）設函式，區間，集合，則使成立的實數對有 ▲ 對．（0）
4、（淮陰中學、姜堰中學、前黃中學2011屆第一次聯考）已知函式是上的偶函式，則常數= .（0）
9．（淮陰中學、姜堰中學、前黃中學2011屆第一次聯考）設曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線方程為 .（ ）
11．（淮陰中學、姜堰中學、前黃中學2011屆第一次聯考）已知函式的影象是乙個中心對稱圖形，則影象的對稱中心座標為 .
12．（淮陰中學、姜堰中學、前黃中學2011屆第一次聯考）已知函式在上是增函式，則實數的取值範圍為 .
14．（淮陰中學、姜堰中學、前黃中學2011屆第一次聯考）如圖放置的等腰直角三角形薄片（，）沿軸滾動，設頂點的軌跡方程是，則在其相鄰兩個零點間的影象與軸所圍區域的面積為 .
3．（江蘇省2010屆蘇北四市第一次聯考）
設是奇函式，則的取值範圍是
《函式》知識點精華總結
考點4 求函式的值域 求值域的幾種常用方法 1 配方法 對於 可化為 二次函式型 的函式常用配方法，如求函式，可變為解決 2 基本函式法 一些由基本函式復合而成的函式可以利用基本函式的值域來求，如函式就是利用函式和的值域來求。3 判別式法 通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函式的值域 4 分離常...
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