章末總結
要點一萬有引力和重力的關係
宇宙間的一切物體都是相互吸引的，這種相互作用力叫做萬有引力．地面上及地面附近的物體由於地球的吸引而受到的力叫做重力．
萬有引力和重力的關係：
實際上，地面上物體所受的萬有引力f可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉而做圓周運動的向心力f′.其中f＝g，f′＝mω2r.
(1)當物體在赤道上時，f、mg、f′三力同向．此時滿足f′＋mg＝f.
(2)當物體在兩極點時，f′＝0，f＝mg＝g.
(3)當物體在地球的其他位置時，三力方向不同，f＞mg.
(4)當忽略地球自轉時，重力等於萬有引力，即mg＝.
(5)對於繞地球執行的近地衛星，所受的萬有引力就是衛星的重力．
要點二對人造地球衛星幾個速度的理解
1．發射速度：是指衛星直接從地面發射後離開地面時的速度，相當於在地面上用一門威力強大的大炮將衛星轟出炮口時的速度，發射衛星離開炮口後，不再有動力加速度．
2．環繞速度(第一宇宙速度)：是指地球衛星的最小發射速度，也是衛星在地面附近環繞地球執行的速度，是衛星的最大的軌道速度．設地球半徑為r，地球質量為m，根據g＝m或mg＝m，可得v1＝≈7.9 km/s.
3．第二宇宙速度：也稱脫離速度，是使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度，其大小為11.2 km/s.
4．第三宇宙速度：也稱逃逸速度，是使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度，其大小為16.7 km/s.
5．軌道速度：設離地面高度為h的人造地球衛星環繞地球做勻速圓周運動的執行速度為v，地球半徑為r，地球質量為m，則由g＝m可得v＝，h越大，v越小．
要點三人造地球衛星的運動問題
1．人造衛星的執行規律
(1)由g＝得v＝，即v∝，軌道半徑越大，環繞速度越小．
(2)由g＝mω2r得ω＝，即ω∝.
(3)由g＝mr，得t＝2π，即t∝，軌道半徑越大，週期越大．
總結：近地衛星的線速度最大，週期最小．
2．兩類運動——穩定執行和變軌執行
衛星繞天體穩定執行時，萬有引力提供了衛星做圓周運動的向心力，即＝m，當衛星由於某種原因，其速度v突然變化時，f萬和m不再相等，因此就不能再根據v＝來確定r的大小．當f萬＞m時，衛星做近心運動；當f萬＜m時，衛星做離心運動．
要點四超重和失重現象
1．人造衛星的超重與失重
(1)人造衛星在發射公升空時，有一段加速運動；在返回地面時，有一段減速運動，這兩個過程加速度方向均向上，因而都是超重狀態．
(2)人造衛星在沿圓軌道執行時，由於萬有引力提供向心力，所以處於完全失重狀態，在這種情況下凡是與重力有關的力學現象都會停止發生，因此，在衛星上的儀器，凡是製造原理與重力有關的均不能使用．同理，與重力有關的實驗也將無法進行．
2．赤道上物體的失重問題
地球在不停地自轉，除兩極之外，地球上的物體由於繞地軸旋轉，都處於失重狀態，且赤道上的物體失重最多．
設地球是半徑為r的均勻球體，自轉角速度為ω，表面的重力加速度為g，質量為m的物體放在赤道上，地面對物體的支援力為fn，根據牛頓第二定律有mg－fn＝mω2r，則有
(1)物體在赤道上的視重等於地球的引力與物體隨地球自轉所需的向心力之差，即fn＝mg－mω2r；
(2)物體在赤道上的失重等於物體繞地軸轉動所需要的向心力，即f＝mg－fn＝mω2r；
(3)物體在地球上完全失重的臨界狀態是物體受到的重力(或萬有引力)完全提供隨地球自轉所需要的向心力，即fn＝0.
所以mg＝mω2r.在此條件下，可以求出對應的臨界角速度、臨界線速度、臨界週期等物理量．
要點五與天體有關的估算問題
天體的估算問題一般涉及天體質量、密度、轉動週期、線速度、轉動半徑等．天體的運動可以看成圓周運動，處理這類問題的基本思路有兩條：
(1)利用天體做圓周運動的向心力由萬有引力提供，天體的運動遵循牛頓第二定律求解．
即g＝ma
(2)利用天體表面的物體的重力約等於萬有引力來求解
即g＝mg m＝ ρ＝.
一、天體質量的估算
例1 已知引力常量g，地球半徑r，月球和地球之間的距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球的運轉週期t1，地球的自轉週期t2，地球表面的重力加速度g.試根據以上條件，提出一種估算地球質量m的方法．
解析解法一同步衛星繞地球做勻速圓周運動，兩者之間的萬有引力提供衛星運動的向心力，由牛頓第二定律可得g＝ma＝m()2(r＋h)，解得m＝
解法二以月球為研究物件，月球繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力則g＝m()2r，解得m＝
解法三在地球表面物體的重力近似等於萬有引力，即g＝mg，所以m＝.
答案見解析
二、關於衛星的發射問題
例2 一顆人造地球衛星以初速度v發射後，可繞地球做勻速圓周運動，若使發射速度增為2v ，則該衛星可能( )
a．繞地球做勻速圓周運動
b．繞地球運動，軌道變為橢圓
c．不繞地球運動，成為太陽系的人造行星
d．掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙去了
解析以初速度v發射後能成為人造地球衛星，可知發射速度v一定大於第一宇宙速度7.9 km/s；當以2v速度發射時，發射速度一定大於15.8 km/s，已超過了第二宇宙速度11.
2 km/s，所以此衛星不再繞地球執行，可能繞太陽執行，或者飛到太陽系以外的空間去了，故選項c、d正確．
答案 cd
方法總結
發射速度是指衛星在地面附近離開發射裝置時的初速度，要發射一顆人造地球衛星，發射速度不能小於第一宇宙速度，即最小發射速度是7.9 km/s；若要發射一顆軌道半徑大於地球半徑的人造人星，發射速度必須大於7.9 km/s.
可見，向高軌道發射衛星比向低軌道發射衛星要困難．
執行速度是指衛星在進入執行軌道後繞地球執行時的線速度．當衛星「貼著」地面(即近地)飛行時，執行速度等於第一宇宙速度，當衛星的軌道半徑大於地球半徑時，執行速度小於第一宇宙速度，所以最大執行速度是7.9 km/s.
三、雙星問題
例3 宇宙中兩個相距較近的天體稱為「雙星」，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，但兩者不會因萬有引力的作用而吸引到一起．設兩者的質量分別為m1和m2，兩者相距為l.求：
(1)雙星的軌道半徑之比．
(2)雙星的線速度之比．
(3)雙星的角速度．
解析這兩顆星必須各自以一定的速度繞某一中心轉動才不至於因萬有引力作用而吸引在一起，從而保持兩星間距離l不變，且兩者做勻速圓周運動的角速度ω必須相同．如圖所示，兩者軌跡圓的圓心為o，圓半徑分別為r1和r2.由萬有引力提供向心力，有
g＝m1ω2r1①
g＝m2ω2r2②
(1)由①②兩式相除，得＝.
(2)因為v＝ωr，所以＝＝.
(3)由幾何關係知r1＋r2＝l③
聯立①②③式解得ω＝.
答案 (1)m2∶m1 (2)m2∶m1 (3)
方法總結
所謂「雙星」問題，是指在宇宙中有兩個相距較近的天體，它們靠相互吸引力提供向心力做勻速圓周運動，兩者有共同的圓心，且間距不變，則向心力大小也不變，其他天體距它們很遠，對其影響忽略不計．雙星的連線一定過圓軌道的圓心，它們之間的萬有引力提供向心力，其特點為：雙星的週期一定相同，角速度也相同，半徑之和為兩星間距.
四、應用萬有引力定律研究天體運動
例4 一組人乘太空穿梭機，
圖6－1
去修理位於離地球表面6.0×105 m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡h.機組人員使穿梭機s進入與h相同的軌道並關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數公里處，如圖6－1所示(已知：
地球半徑為6.4×106 m)．
(1)在穿梭機內，一質量為70 kg的人的視重是多少？
(2)①計算軌道上的重力加速度的值．
②計算穿梭機在軌道上的速率和週期．
(3)穿梭機需首先進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結果判斷穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．
解析 (1)由於穿梭機處於完全失重狀態，所以此人的視重為0.
(2)①設軌道處的重力加速度為g′，地球質量為m地，由萬有引力定律得
mg′＝g
mg＝g
解以上兩式得g′＝＝8.2 m/s2
②由牛頓第二定律得
g＝m＝m (r＋h)
第六章萬有引力與航天章末總結章末檢測2 1
萬有引力與航天章末總結 一 天體質量的估算 例1 已知引力常量g，地球半徑r，月球和地球之間的距離r，同步衛星距地面的高度h，月球繞地球的運轉週期t1，地球的自轉週期t2，地球表面的重力加速度g.試根據以上條件，提出一種估算地球質量m的方法 方法總結 二 關於衛星的發射問題 例2 一顆人造地球衛星以...
第六章萬有引力與航天總結
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