一、高等數學與初等數學的區別？
從研究「常量」發展到研究「變數」
從研究「有限」發展到研究「無限」
對於以上兩點，我們從下面這幾個方面加以闡述。
1．什麼是悖論
悖論：從「正確」的前提出發，經過「正確」的邏輯推理，得出荒謬的結論。例如：
「甲是乙」與「甲不是乙」這兩個命題中總有乙個是錯的；但「本句話是七個字」與「本句話不是七個字」又均是對的，這就是悖論。再如：「萬物皆數」學說認為「任何數都可表為整數的比」；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數的比，這也是悖論。
2．芝諾悖論
芝諾（前490？—前430？）是（南義大利的）愛利亞學派創始人巴門尼德的學生。
他企圖證明該學派的學說：「多」和「變」是虛幻的，不可分的「一」及「靜止的存在」才是唯一真實的；運動只是假象。於是他設計了四個例證，人稱「芝諾悖論」。
這些悖論是從哲學角度提出的。我們從數學角度看其中的乙個悖論。下面的是芝諾悖論之一：
阿基里斯追不上烏龜：烏龜先出發，比如烏龜走到10公尺處，兔子開始出發追烏龜。當兔子追到10處的時候，烏龜已經在下乙個點了；當兔子追到下乙個點，烏龜已經在下下個點了，以此類推，兔子永遠追不上烏龜。
問題的癥結：無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。
3. 芝諾悖論的意義：
1）促進了嚴格、求證數學的發展
2）較早的「反證法」及「無限」的思想
3）尖銳地提出離散與連續的矛盾：
空間和時間有沒有最小的單位？
芝諾的前兩個悖論是反對「空間和時間是連續的」，後兩個悖論則是反對「空間和時間是離散的」。在芝諾看來，這兩種理論都有毛病；所以，「運動只是假象，不動不變才是真實」。
芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發展，不能不說是巨大的貢獻。下面我來做下面的問題：
有乙個旅店有無窮個房間，已經住滿旅客。現在又來了乙個旅客，能住下麼？
有乙個旅店有無窮個房間，已經住滿旅客。現在又來了n個旅客，能住下麼？
有乙個旅店有無窮個房間，已經住滿旅客。又來了無窮個旅客，能住下麼？
有乙個旅店有無窮個房間，已經住滿旅客。現在又來了n旅遊團，每個團的旅客都是無窮個，能住下麼？
有乙個旅店有無窮個房間，已經住滿旅客。現在又來了無窮個旅遊團，每個團的旅客都是無窮個，能住下麼？
這些問題的答案都是：能住下。可能出乎你的意料。部分應當小於總體！部分怎麼能等於總體呢？！讓我們接著看。
4．無限與有限的區別和聯絡
區別1）在無限集中，「部分可以等於全體」（這是無限的本質），而在有限的情況下， 部分總是小於全體。
2.）「有限」時成立的許多命題，對「無限」不再成立。例如：實數加法的結合律在「有限」的情況下，加法結合律成立：
a+b)+c = a+(b+c)
但在「無限」的情況下，加法結合律不再成立。如
5．數學中的無限在生活中的反映
1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的
整體看又是圓的）
2）銼刀銼乙個光滑零件：每一銼銼下去都是直的
許多刀合在一起的效果又是光滑的，可以挫成圓形的）
3）不規則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。
6．數學對「無限」的興趣
數學嚴密地研究有限與無限的關係，大大提高了人類認識無限的能力。在有限環境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧型；在獲得這些成果過程中體現出來的奮鬥與熱情，那是人類的情感；對無限的認識成果，則是人類智慧型與熱情的共同結晶。乙個人，若把自己的智慧型與熱情融入數學學習和數學研究之中，就會產生一種特別的感受。
如果這樣，數學的學習不僅不是難事，而且會充滿樂趣。
二、**分割
1．斐波那契數列
**分割這與「斐波那契數列」有關。若乙個數列，前兩項等於1，而從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數列為斐波那契數列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
這個數列**於「兔子問題」：假設一對初生兔子要乙個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那麼，由一對初生兔子開始，12 個月後會有多少對兔子呢？
由上圖可見，兔子問題的答案即是「斐波那契數列」。而這個數列的後一項與前一項的比就是**分割！
2．**分割
斐波那契數列是從兔子問題中抽象出來的，如果它在其它方面沒有應用，它就不會有強大的生命力。發人深省的是，斐波那契數列確實在許多問題中出現。**分割之所以稱為「**」分割，是比喻這一「分割」如**一樣珍貴。
**比，是工藝美術、建築、攝影等許多藝術門類中審美的因素之一。認為它表現了恰到好處的「和諧」。下面舉例說明：
1） 人體各部分的比
肚臍 ：（頭—腳）
印堂穴： （口—頭頂）
肘關節： （肩—中指尖）
膝蓋：（髖關節—足尖）
2） 著名建築物中各部分的比
如埃及的金字塔，高（137公尺）與底邊長（227公尺）之比為0.629古希臘的巴特農神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615；
3） 美觀矩形
如國旗和其它用到矩形的地方（建築、家具），這個矩形的長寬比即是**分割；
4） 風景**中，地平線位置的安排應當佔整個**的61.8%；
5） 正五角星中的比，正五角星的線段比為**分割。
6） 舞台報幕者的最佳站位：在整個舞台寬度的0.618處站立，效果較美；
7） **、戲劇的高潮出現在整個作品的0.618處較好；
7）華羅庚將**分割理論用於「優選法」中，為我國社會主義事業的建設作出了傑出的貢獻。
三、「對稱」的觀點
可以把「平面圖形的對稱」看成是以下三種運動 ——軸對稱、 n次中心對稱、平移對稱中用到的運動分為三類：反射，旋轉，平移
這些運動都是變換；這些變換共同的特點是，都保持平面上任意兩點間的距離不變。所以，把反射、旋轉、平移，以及它們的相繼實施，統稱為 「保距變換」。由這一觀點自然的延伸,就可以想到描述平面圖形對稱性強弱的一種量化的方法.
這就是把所有使某平面圖形 k 不變的「保距變換」放在一起,構成乙個集合,記為s(k) 並稱其為k的對稱集.
從 「對稱」的現象，到發現 「變中有不變」 的本質，再提出「保距變換」；把保持圖形k不變的「保距變換」放到一起，構成乙個集合，稱之為「k 的對稱集」，用它來描述k的對稱性；最後，我們把其中元素的個數，作為衡量平面圖形的對稱性強弱的乙個量化指標。然後，再對照例子，驗證我們的理論。由對稱這個現象，數學家抽象出了「群」的概念，並通過「群」對「數」重新分類，給出了數學上大量的重要定理。
在數學歷史中，有乙個重要的定理一直沒有得以證明：「在複數域內，五次以上方程是否有求根公式」。對於這個問題，年僅18歲的法國數學家伽羅瓦，探尋了「方程可用根式解」的總思路：
不再去尋找求根公式，而是從「根集的置換」的角度去考慮問題。伽羅瓦引入」群」、「域」，創立「伽羅瓦理論」，徹底證明了五次以上方程沒有求根公式！
四、分形與混沌
2023年法國數學家mandelbrot在《科學》雜誌上發表文章談到：
「英國的海岸線有多長？」 。
這個問題看似極其簡單，但mandelbrot發現：
當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的！
這個發現可以用下面的圖形加以說明：
當計量單位越來越精確的時候，這些小的邊長就會被計量，從而導致圖形的總邊長趨於無限。
mandelbrot談到：「2023年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規則的。
首先，它們處處無規則可言。其次 ，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規則性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形看起來乙個模樣——它是自相似的。
整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發現它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。自然界提供了許多分形例項。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。
其生成規則保證了小尺度上的特徵成長後就變成大尺度上的特徵。」
通過迭代等簡單的數**算，我們可以給出非常精美的分形圖形，如下所示：
下面我們談談「混沌」
美國氣象學家lorenz在天氣預報中的發現是混沌認識過程中的乙個里程碑。2023年，他在麻省理工學院操作著一台當時比較的先進工具——計算機進行天氣模擬，試圖進行長期天氣預報。lorenz發現，計算機乙個微小的捨入運算，結果導致結果產生了巨大的偏差。
後來lorenz將這種方程對初值的極端敏感定義為「混沌」。
lorenz發現混沌運動的兩個重要特點：
(1)對初值極端敏感；
(2)解並不是完全隨機的。
lorenz之後，混沌學的研究開始蓬勃發展。下面給出「混沌」的定義：
非線性確定性系統中, 由於系統內部非線性相互作用而產生的一種非週期的行為。例如,大氣由熱對流導致的湍流就是一種混沌現象。
混沌具有劃時代的意義，主要為以下兩點：混沌的發現與數學史上的數學危機是不同的。數學危機是人們對於數學根基的質疑，而混沌則是人們在看似簡單的問題中發現了複雜的現象；混沌絕不單單是有趣的數學現象，混沌是比有序更為普遍的現象，它使我們對物質世界有了更深一層的認識，為我們研究自然的複雜性開闢了一條道路，同時也引出了關於物質世界認識論上的一些哲學思考。
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