公約數與公倍數問題
知識框架
在公務員的考試中，公約數與公倍數問題考查點只有兩種型別。無論生活場景如何改變，同學只要牢牢把握這兩種型別，就能輕鬆搞定公約數與公倍數問題。
核心點撥
1.題型簡介
（1）約數與倍數
若數a能被b整除，則稱數a為數b的倍數，數b為數a的約數。其中，乙個數的最小約數是1，最大約數是它本身。
（2）公約數與最大公約數
幾個自然數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。
公約數中最大的乙個，稱為這幾個自然數的最大公約數。
（3）公倍數與最小公倍數
幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個自然數的公倍數。
公倍數中最小的乙個，稱為這幾個自然數的最小公倍數。
考試題型一般是已知兩個數，求它們的最大公約數或最小公倍數。
2.核心知識
（1）兩個數最大公約數和最小公倍數
一般採用短除法，即用共同的質因數連續去除，直到所得的商互質為止。
a、把共同的質因數連乘起來，就是這兩個數的最大公約數。
b、把共同的質因數和各自獨有的質因數連乘起來，就是這兩個數的最小公倍數。
如：求24、36的最大公約數與最小公倍數。
24、36的最大公約數為其共同質因數的乘積，即2×2×3=12；
24、36的最小公倍數為其共同質因數及獨有質因數的乘積，即(2×2×3)×(2×3) =72。
（2）三個數最大公約數和最小公倍數
a、求取三個數的最大公約數時，短除至三個數沒有共同的因數（除1外），然後把所有共同的質因數連乘起來。
b、求取三個數的最小公倍數時，短除到三個數兩兩互質，然後把共同的質因數和各自獨有的質因數連乘起來。
如：求24、36、90的最大公約數和最小公倍數。
3.核心知識使用詳解
（1）兩個數如果存在著倍數關係，那麼較小的數就是其最大公約數，較大的數就是其最小公倍數。
（2）互質的兩個數的最大公約數是1，最小公倍數是它們的乘積。
（3）利用短除法求取三個數的最大公約數和最小公倍數時要注意二者的區別：求取三個數的最大公約數時，只需短除到三個數沒有共同的因數（除l外）即可；而求取三個數的最小公倍數時，需要短除到三個數兩兩互質為止。
（4）多於三個數的最大公約數與最小公倍數的求法與三個數的求法相似。
夯實基礎
1.兩個數的最大公約數和最小公倍數
例1：(2005．福建)
48與108的最大公約數是：
a. 6
b. 8
c. 24
d. 12
【答案】d
【解析】[題鑰]
「48與108的最大公約數」，兩者沒有倍數關係，可以選用短除法來求最大公約數。
[解析]
短除法：
4和9除1以外沒有共同的因數；
最大公約數：
把共同的質因數連乘起來，就是這兩個數的最大公約數，
故48和108的最大公約數為：2×2×3=12。
因此，選d。
2.三個數的最大公約數和最小公倍數
例2：三根鐵絲，長度分別是120厘公尺，180厘公尺，300厘公尺，現在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩餘，那麼最少可截成多少段？
a. 8
b. 9
c. 10
d. 11
【答案】c
【解析】[題鑰]
這道例題中隱含了最大公約數的關係。「截成相等的小段」，即為求三數的公約數，「最少可截成多少段」，即為求最大公約數。
[解析]
短除法：
2、3、5除以1以外沒有共同的因數；
最大公約數：
把共同的質因數連乘起來，就是這三個數的最大公約數，故120、180和300的最大公約數為：2×2×3×5=60。
所以每小段的長度最大是60厘公尺，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
因此，選c。
高階訓練
1.兩個數的最大公約數和最小公倍數
例3：（2007．江西）
能被15和12整除的最小正整數是：
a. 60
b. 120
c. 180
d. 30
【答案】a
【解析】[題鑰]
「能被15和12整除的最小正整數」 即為15和12的最小公倍數，採用短除法來求最小公倍數
[解析]
短除法：
5和4除1以外沒有共同的因數；
最小公倍數：
把共同的質因數和各自獨有的質因數連乘起來，就是這兩個數的最小公倍數， 所以15和12的最小公倍數為：3×5×4=60。
因此，選a。
2.三個數的最大公約數和最小公倍數
例4：6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果用1分、2分、5分硬幣分別疊成的三個圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那麼這三種硬幣總共有多少枚？
a. 180
b. 181
c. 182
d. 183
【答案】c
【解析】[題鑰]
此題解題的關鍵點是要確定多少枚1分、2分或5分的硬幣疊成的圓柱體高度相同。
[解析]
根據「6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高」，
其中6、5、5的最小公倍數為30，則：
36枚1分硬幣、30枚2分硬幣、25枚5分硬幣疊成的圓柱體一樣高；
此時這些硬幣的幣值之和為221分，恰好為2元2角1分，是4元4角2分的一半，
故4元4角2分由72枚1分硬幣、60枚2分硬幣和50枚5分硬幣組成，
即共有硬幣72+60+50=182枚。
因此，選c。
例5.(2008.國考)
甲、乙、丙、丁四個人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個人在圖書館相遇，問下一次四個人在圖書館相遇是幾月幾號？
a. 10月18日
b. 10月14日
c. 11月18日
d. 11月14日
【答案】d
【解析】[題鑰]
每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，該題轉化為求6、12、18、30這四個數的最小公倍數問題。
[解析]
每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那麼：
甲每5+1=6天去一次圖書館，
乙每11+1=12天去一次圖書館，
丙每17+1=18天去一次圖書館，
丁每29+1=30天去一次圖書館；
要求下次相遇，也就是求6、12、18、30這四個數的最小公倍數，
根據短除法，求出該值為180，
即再過180天，四個人才能夠再次在圖書館相遇，
此時為11月14日。
因此，選d。
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