追及問題
知識框架
公****中，追及問題雖然是考核心公式的應用，但基本不是直接代入核心公式就可以解題，但總的來說追及問題只有以下兩種情況，每種情況有2種變化。同學只要牢牢把握這兩種情況，就能輕鬆搞定追及問題。
核心點撥
1、 題型簡介
追及問題是行程問題的常考典型應用題，是研究「同向運動」的問題，追及問題反映的是兩個量或者多個量所走的路程、速度和時間的關係。核心就是速度差。
2、核心知識
追及時間=路程差÷速度差；
路程差=追及時間×速度差；
速度差=路程差÷追擊時間。
小紅和小明的家相距300公尺，兩人同時從家裡出發去學校，小明在小紅後面，小明每分
鐘走160公尺，小紅每分鐘走100公尺，問小明幾分鐘追上小紅？
追及時間=路程差÷速度差=300 ÷（160-100）=5分鐘
3、核心知識使用詳解
當追及問題發生在直線路程上時：路程差=追者路程一被追者路程=速度差×追及時間；
當發生在環形路程上時：快的路程-慢的路程=曲線的周長；
夯實基礎
1.直線追及問題
例1：(2007．浙江)
a、b兩地相距100公里，甲以10千公尺／小時的速度從a地出發騎自行車前往b地。6小時後，乙開電單車從a地出發駛向b地。問為了使乙不比甲晚到b地，電單車每小時至少要行駛多少千公尺？
a. 24千公尺 b. 25千公尺 c. 28千公尺 d. 30千公尺
【答案】b
【解析】[題鑰]
「問為了使乙不比甲晚到b地，電單車每小時至少要行駛多少千公尺？」故最小應保證乙和甲同時到。
[解析]
甲行駛全程的時間：
時間=路程÷速度=100÷10=10小時；
確定最長追及時間：
6小時後，乙開電單車從a地出發駛向b地，為了使乙不比甲晚到，應該保證兩車同時到，故行駛的時間不超過10-6=4小時；
確定電單車的最小速度：
故電單車的速度至少為：
路程÷時間=100÷4=25千公尺／小時。
所以，選b。
例2：(2009．江蘇c類)
甲、乙兩人騎車在路上追逐，甲的速度為27千公尺／小時，每騎5分鐘休息1分鐘，乙的速度是300公尺／分，現在已知乙先行1650公尺，甲開始追乙，追到乙所需的時間是：
a. 10分鐘 b. 15分鐘 c. 16分鐘 d. 17分鐘
【答案】d
【解析】[題鑰]
「甲的速度為27千公尺／小時，每騎5分鐘休息1分鐘，乙的速度是300公尺／分，」甲乙速度單位不統一，故應換算成單位統一的。即甲的速度為 27×1000/60=450公尺／分；
[解析]
確定第乙個6分鐘後，甲乙的路程差：
在行駛中，路程差＝被追者路程-追者路程
在甲行駛第乙個5分鐘後，甲乙相距（1650+300×5）-450×5=900公尺，
而後甲休息1分鐘，故此時甲乙相距900+300=1200公尺；
確定第二個6分鐘後，甲乙的路程差：
甲行駛第二個5分鐘後，甲乙相距（1200+300×5）-450×5=450公尺，
而後甲休息1分鐘，故此時甲乙相距450+300=750公尺；
確定第三個6分鐘後，甲乙的路程差：
甲行駛第三個5分鐘後，甲乙相距（750+300×5）-450×5=0公尺，
此時甲剛好追到乙。
甲追到乙所需的時間：
故共用了6+6+5=17分鐘。
所以，選d。
2.環線追及問題
例3：(2008．雲南)
環形跑道周長400公尺，甲乙兩個運動員同時從起跑線出發，甲每分鐘跑375公尺，乙每分鐘跑365公尺，多少時間後甲乙再次相遇？
a. 34分鐘 b. 36分鐘 c. 38分鐘 d. 40分鐘
【答案】d
【解析】[題鑰]
「環形跑道周長400公尺，甲乙兩個運動員同時從起跑線出發，」兩者同時出發，同向而行，所以兩人要相遇應在甲比乙多跑一圈時甲乙再次相遇。故兩者的路程差=環形跑道周長。
[解析]
甲乙再次相遇時的路程差：
根據題意，當甲比乙多跑一圈時甲乙再次相遇，
兩者的路程差=環形跑道周長=400公尺；
甲追上乙的追及時間：
追及時間=路程差÷速度差=400÷（375-365）=40分鐘；
所以，選d。
高階訓練
1.直線追及問題
例4：(2006．山西)
小明8點8分從家裡出發，走了8分鐘後，爸爸去追他。走了4千公尺追上小明。爸爸返回家中再次去追小明，走了8千公尺再次追上小明。問現在幾點了？
a. 8點16分 b. 8點24分 c. 8點32分 d. 8點40分
【答案】c
【解析】[題鑰]
「走了4千公尺追上小明。」「爸爸返回家中再次去追小明，走了8千公尺再次追上小明。」第二次相遇後，小明走4千公尺所用的時間，和爸爸走12千公尺所用的時間相同。
[解析]
根據題意作圖：
其中c點、d點是小明和爸爸第一次、第二次相遇點。
爸爸第一次追上小明的路程和時間：
設爸爸走了4千公尺，用x分鐘，
小明走了4千公尺，用(8+x)分鐘；
爸爸返回家到從家第二次追上小明路程：
爸爸共走了4+8=12千公尺，
小明走了4千公尺；
爸爸返回家到從家第二次追上小明時間：
爸爸用時3x分鐘，
小明用時同樣為3x分鐘；
爸爸第一次追上小明的時間：
由於小明一直以均勻前進，故走兩段4千公尺的時間應該相同，即
(8+x)=3x，
解得x=4；
再次讀題：
問現在幾點了？
即求解總耗時，可以以小明做為參考：
小明總共用時2×(8+4)=24分鐘，即現在為8點32分。
所以，選c。
2.環線追及問題
例5：如圖，外圓圓周長80厘公尺，陰影部分是個「逗號」，兩隻螞蟻分別從a、b點同時爬行。甲螞蟻從a點出發，沿「逗號」四周順時針爬行，每秒爬3厘公尺；乙螞蟻從b出發，沿外圓圓周順時針爬行，每秒爬行5厘公尺。
兩隻螞蟻第一次相遇時，乙螞蟻共爬行了多少厘公尺？
a. 100 b. 200 c. 300 d. 400
【答案】c
【解析】[題鑰]
a、b點之間「逗號」曲線距離=兩個半圓的半周長。
設大圓半徑為r，小圓半徑為r，有：
兩個半圓的半周長=大圓的半周長+小圓的半周長=πr +πr=π（r +r）=π×ab=外圓半周長；
[解析]
確定a、b點之間「逗號」曲線的距離
根據圖形可知，外圓的直徑等於兩個內圓直徑之和，
所以，a、b點之間「逗號」曲線的距離等於外圓半圓的距離：
80÷2=40厘公尺。
確定兩隻螞蟻相遇時路程差：
兩隻螞蟻同向而行，分析得，相遇時路程差為(40+80n)厘公尺(n為自然數)。
當n=0時：
時間是秒，此時乙螞蟻爬了5×20=100厘公尺，100÷80=1……20，故此時乙螞蟻在內曲線上，不能相遇。
當n=l時：
時間是秒，此時乙螞蟻爬了5×60=300厘公尺，300÷80=3……60，故此時乙螞蟻在右側半圓上，可以相遇。
所以，選c。
例6：(2006．北京應屆)
甲車以每小時160千公尺的速度，乙車以每小時20千公尺的速度，在長為210千公尺的環形公路上同時、同地、同向出發。每當甲車追上乙車一次，甲車減速1/3，而乙車則增速1/3。問：
在兩車的速度剛好相等的時刻，它們共行駛了多少千公尺？
a. 1250 b. 940 c. 760 d. 1310
【答案】a
【解析】[題鑰]
「甲車以每小時160千公尺的速度，乙車以每小時20千公尺的速度，在長為210千公尺的環形公路上同時、同地、同向出發。」 因為追及發生在環形路程上，故路程差=快的路程-慢的路程=曲線的周長=210公尺。
[解析]
確定追及的次數:
根據題意，甲車追上乙車x次後，兩車速度相等，則有
解得x=3，即經過3次變化甲乙的速度相等，即在第四次追上乙時，兩者速度相等。
甲第一次追上乙前的甲乙的速度：
甲的速度=160千公尺/小時，
乙的速度=20千公尺/小時；
甲第二次追上乙前的甲乙的速度：
甲的速度=160×千公尺/小時，
乙的速度=20×千公尺/小時；
甲第三次追上乙前的甲乙的速度：
甲的速度= ×=千公尺/小時
乙的速度= ×=千公尺/小時
甲第一次追上乙的追及時間：
追及時間=路程差÷速度差=環形跑道的長度÷甲乙速度差
=210÷（160-20）=小時；
甲第二次追上乙的追及時間：
追及時間=路程差÷速度差=環形跑道的長度÷甲乙速度差
=210÷[-]=小時；
甲第三次追上乙的追及時間：
追及時間=路程差÷速度差=環形跑道的長度÷甲乙速度差
=210÷[-]=小時；
甲第一次追上乙時的路程：
甲的路程=追及時間×速度=×160=240千公尺，
乙的路程=追及時間×速度=×20=30千公尺；
甲第二次追上乙時的路程：
甲的路程=追及時間×速度=× =280千公尺，
乙的路程=追及時間×速度=×=70千公尺；
甲第三次追上乙時的路程：
甲的路程=追及時間×速度=×=420千公尺，
乙的路程=追及時間×速度=×=210千公尺；
甲行駛的路程：
甲行駛的路程=甲第一次追上乙時甲的路程+甲第二次追上乙時甲的路程+甲第三次追上乙時甲的路程
=240+280+420=940千公尺；
乙行駛的路程：
乙行駛的路程=甲第一次追上乙時乙的路程+甲第二次追上乙時乙的路程+甲第三次追上乙時乙的路程
=30+70+210=310千公尺；
甲乙兩車共行駛的路程：
甲乙兩車共行駛的路程=甲行駛的路程+乙行駛的路程
=940+310=1250千公尺
所以，選a。
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