考研數學一
第1頁數學
(一)基礎班第二章
一、單項選擇題
1.設f（0）=0，則f（x）在點x=0可導的充要條件為(
)2.設函式f（x）=|x 3-1|φ（x），其中φ（x）在x=1處連續，則φ（1）=0是f（x）在x=1處可導的（）
a.充分必要條件.
b.必要但非充分條件
c.充分但非必要條件.
d.既非充分也非必要條件.
3.函式f（x）=（x 2-x-2）|x 3-x|不可導點的個數是（
）a.3
b.2c.3
d.04.設函式f（x）在點x=a 處可導，則函式|f（x）|在點x=a 處不可導的充分條件是（
）a.f(a)=0且f』(a)=0
b.f(a)=0且f』(a)≠0
c.f(a)>0且f』(a)>0
d.f(a)<0且f』(a)<05.設函式f（x）可導，f（x）=（e x +|sin2x|）f（x），則f（0）=0是f（x）在x=0處可導的（）條件。
a.充要
b.充分非必要
c.必要非充分
d.非充分非必要
【２０１２考研必備資料】
6.設a.b為任意常數，而a=0
b.b為任意常數，而a=e
c.a為任意常數，而b=0
d.a為任意常數，而b=e
7.設f（x）在x=a的某鄰域內有定義，則f（x）在x=a處可導的乙個充分條件是（）
8.設9.設g（x）可導，f（x）=g（x）（1+|sinx|），則g（0）=0是f（x）在x=0處可導的()
a.充分必要條件
b.充分但非必要條件
c.必要但非充分條件
d.既非充分又非必要條件
10.若是()
a.與△x等價的無窮小
b.與△x同階但不等價的無窮小
c.比△x低階的無窮小
d.比△x高階的無窮小
11.若
（a）無窮間斷點
（b）可去間斷點
（c）連續點
（d）振盪間斷點
12.已知導數上的圖形為下圖，則函式y=f（x）在（a,b）上是（）
（a）增加且凹的
（b）減少且凹的
（c）增加且凸的
（d）減少且凸的
13.設則在x=a處，有（）
（a）（b）f（x）取得極大值；
（c）f（x）取得極小值；
（d）f（x）的導數不存在
14.的垂直漸近線為（）
a.x=1，x=-2
b.x=-1
c.y=1，y=2
d.y=-1
15.曲線的漸近線情況是（）
a.一條漸近線
b.二條漸近線
c.三條漸近線
d.無漸近線
二、計算題
1.設f（x）=10x2，按導數定義求f』（-1）
2.已知
3.設4.已知
5.已知
6.設求f』(0)
7.已知求y『
8.設9.
求dy10.
求y11.已知
12.求
13.求曲線y=xe x的水平漸近線。
三、綜合題
1.設f（x）在x=a可導，且f（a）≠0，求極限
2.設f（x）在（0,+oo）上有定義，且對任意x∈（0,+oo）,y∈（0,+oo）,有f（x,y）=f（x）+f （y）,又f』（1）存在且等於a，試求x>0時f』（x）
3.設4.設
5.設g（0）=1,g』（0）=-1,求f』（x）並討論f』（x）在（-oo,+oo）上的連續性
6.設求證：
7.如果
四、填空題。
1.設f（x）具有連續導數，且函式x=0處連續，則
f(02.若曲線y=x3在（x0，y0）處切線斜率等於12，求點（x0，y0）的座標
3.拋物線y=x2在處切線與ox軸正向夾角為π/4，並且求該處切線的方程
4.曲線處切線和法線方程
5.若拋物線y=ax2與曲線y=lnx相切,則a
6.已知：
7.曲線在點（1，1）處切線的斜率
8.設函式
9.設10.求的導數是
11.求
12.求曲線
13.極限
14.下列觀點中屬於主觀唯心主義的有（）
a.物是感覺的復合
b.存在就是被感知
c.我思故我在
d.世界不過是意志的表象
五、證明題。
1.設函式f（x）在點x0的某鄰域i內有定義。證明：導數f』（x0）存在的充分條件是存在這樣的函式g（x），它在i內有定義，在點x0處連續，且使得在i內成立等式：
f（x）=f（x0）+（x-x0）g（x）。又此時必有f』（x0）=g（x0）
2.證明雙曲線xy=a2上任一點處的切線與兩座標軸構成的三角形的面積都等於2a2。
3.設所給的函式可導。證明：
奇函式的導函式是偶函式，偶函式的導函式是奇函式。
答案部分
一、單項選擇題
1.【正確答案】b
【答案解析】
【答疑編號13519】
2.【正確答案】a
【答案解析】應選（a）.因為已知函式f（x）=|x3-1|φ（x）含有絕對值，應當作分段函式看待，利用f（x）在x=1處左右導數定義討論也可得到正確答案.
【答疑編號13522】
3.【正確答案】
【答疑編號13523】
4.【正確答案】b 【答疑編號13524】
5.【正確答案】a
【答案解析】
【答疑編號13525】
6.【正確答案】d
【答案解析】
【答疑編號13530】
7.【正確答案】d
【答疑編號4781】
8.【正確答案】b
【答案解析】
【答疑編號4782】
9.【正確答案】a
【答疑編號4783】
10.【正確答案】b
【答案解析】提示：
【答疑編號4784】
11.【正確答案】b
【答疑編號4785】
12.【正確答案】c
【答案解析】∵在（a，b）上y′=f′（x）>0,
∴在（a，b）上y=f（x）單調增加
∵在（a，b）上y′減少，
∴在（a，b）上y″<0,
∴在（a，b）上y=f（x）是凸的
∴在（a，b）上y=f（x）增加且凸
【答疑編號4786】
13.【正確答案】b
【答疑編號4790】
14.【正確答案】b
【答疑編號4795】
15.【正確答案】b
【答疑編號4796】
二、計算題
1.【正確答案】解：f』（-1）=-20
【答案解析】提示：根據導數定義直接代數計算就可以了。【答疑編號4797】
2.【正確答案】
【答疑編號4798】
【正確答案】解：
【答疑編號4799】
4.【正確答案】解：
【答疑編號4800】
5.【正確答案】解：
【答疑編號4801】
【正確答案】當
【答疑編號4802】
【正確答案】解：
【答疑編號4803】
8.【正確答案】解：
【答疑編號4804】
【正確答案】解：
【答疑編號4805】10.
【正確答案】
【答案解析】提示：
因為所以
【答疑編號4807】
【正確答案】解：
【答疑編號4814】
12.【正確答案】解：
【答疑編號4821】
13.【正確答案】解：
∴y=0是水平漸近線【答疑編號4830】
三、綜合題
【正確答案】
【答疑編號13520】2.
【正確答案】
【答疑編號13521】
【正確答案】
【答疑編號13526】4.
【正確答案】
【答疑編號13527】
【正確答案】
【答疑編號13528】
6.【正確答案】提示：在證明（1）之後，在（1）的等式兩邊同時對x求（n-1）階導數，則得出（2）。【答疑編號4869】
7.【正確答案】證：
【答疑編號4872】
四、填空題。
1.【正確答案】
【答疑編號13529】
2.【正確答案】（2，8）和（-2，-8）【答案解析】解：由題意得：
【答疑編號4617】
3.【正確答案】（，）；y=x—【答案解析】由題意得：
【答疑編號4643】
4.【正確答案】
【答案解析】解：
【答疑編號4663】
5.【正確答案】1/2e
【答疑編號4666】
6.【正確答案】-1
【答案解析】本題考查導數定義。【答疑編號4670】
7.【正確答案】3
【答案解析】由題意知：
【答疑編號4686】
8.【正確答案】a=2，b=-1
【答案解析】本題根據導數的定義來求a，然後根據左極限等於右極限等於該點函式值求出b。【答疑編號4742】
9.【正確答案】
【答案解析】解：
【答疑編號4743】
10.【正確答案】
【答案解析】
【答疑編號4744】
11.【正確答案】
【答案解析】解：
【答疑編號4745】
12.【正確答案】
【答案解析】解：
【答疑編號4757】
13.【正確答案】0
【答案解析】利用洛必達法則求導後，把x＝2π代入。【答疑編號4774】
14.【正確答案】abcd
【答疑編號47】
五、證明題。
1.【正確答案】
【答疑編號13518】2.
【正確答案】證：
【答疑編號4843】
3.【正確答案】證明：
以下只證明奇函式的導函式是偶函式，可類證偶函式的導函式是奇函式。
【答疑編號4849】
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