臨朐中學高三理科數學收心測試題
命題人：趙麗娜審核人：高三數學組使用時間：2016/9/1
一、 選擇題：本大題共10小題，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，將答案填在指定答題欄內
1．函式f(x)＝＋log2(6－x)的定義域是( )
a．(6，＋∞) b．(－3,6) c．(－3d．[－3,6)
2．若函式f(x2＋1)的定義域為[－1,1]，則f(lg x)的定義域為( )
a．[－1,1] b．[1,2] c．[10,100d．[0，lg 2]
3．下列函式中，在其定義域內既是偶函式又在(－∞，0)上單調遞增的函式是( )
a．f(x)＝x2 b．f(x)＝2|x| c．f(x)＝log2 d．f(x)＝sin x
4．設f(x)＝ln x＋x－2，則函式f(x)的零點所在的區間為( )
a．(0,1b．(1,2) c．(2,3) d．(3,4)
5．已知a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關係是( )
a．c6．已知定義在(－1,1)上的奇函式f(x)，其導函式為f′(x)＝1＋cos x，如果 f(1－a)＋f(1－a2)<0，則實數a的取值範圍為( )
a．(0,1) b．(1，)
c．(－2，－) d．(1，)∪(－，－1)
7．設函式f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a＝( )
a．－3 b．±3 c．－1 d．±1
8．函式y＝的圖象大致是( )
9．設函式f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值範圍是( )
a. b．[0,1] c. d．[1，＋∞)
10．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恆成立，則實數m的取值範圍是( )
a．(－2,1) b．(－4,3) c．(－1,2) d．(－3,4)
第ⅱ卷(非選擇題，共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．將答案填在題中橫線上
11．若函式y＝f(x＋3)的圖象經過點p(1,4)，則函式y＝f(x)的圖象必經過點________．
12．函式f(x)＝的最大值為________．
13．已知函式f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值範圍為________．
14．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區間(－∞，1]上遞減，則a的取值範圍為
15．已知f(x)＝則函式y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點個數是________．
三、 解答題：本大題共6小題，滿分75分．
16. 求值與化簡：
(1) 0＋2－2·－(0.01)0.5；(2) a·b－2·÷；
（3）lg－lg＋lg.
17(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函式，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；
(3)已知函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，求f(x)．
18.已知函式f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)判斷f(x)的奇偶性並予以證明；
(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集．
19．已知函式f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數，a≠0，x∈r)．
(1)若函式f(x)的圖象過點(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有乙個根，求f(x)的表示式；
(2)在(1)的條件下，當x∈[－1,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函式，求實數k的取值範圍．
20.「水資源與永恆發展」是2023年聯合國世界水資源日主題，近年來，某企業每年需要向自來水廠所繳納水費約4萬元，為了緩解供水壓力，決定安裝乙個可使用4年的自動汙水淨化裝置，安裝這種淨水裝置的成本費(單位：萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：
平方公尺)成正比，比例係數約為0.2.為了保證正常用水，安裝後採用淨水裝置淨水和自來水廠供水互補的用水模式．假設在此模式下，安裝後該企業每年向自來水廠繳納的水費c(單位：
萬元)與安裝的這種淨水裝置的占地面積x(單位：平方公尺)之間的函式關係是c(x)＝(x≥0，k為常數)．記y為該企業安裝這種淨水裝置的費用與該企業4年共將消耗的水費之和．
(1)試解釋c(0)的實際意義，並建立y關於x的函式關係式並化簡；
(2)當x為多少平方公尺時，y取得最小值，最小值是多少萬元？
21．已知函式f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|.
(1)若當x∈r時，不等式f(x)≥g(x)恆成立，求實數a的取值範圍；
(2)求函式h(x)＝|f(x)|＋g(x)在區間[0,2]上的最大值．
試題答案
1.解析：選d 要使函式有意義應滿足解得－3≤x<6.
2.解析：選c 因為f(x2＋1)的定義域為[－1,1]，則－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.
因為f(x2＋1)與f(lg x)是同乙個對應法則，所以1≤lg x≤2，即10≤x≤100，所以函式f(lg x)的定義域為[10,100]．
3解析：選c 函式f(x)＝x2是偶函式，但在區間(－∞，0)上單調遞減，不合題意；函式f(x)＝2|x|是偶函式，但在區間(－∞，0)上單調遞減，不合題意；函式f(x)＝log2是偶函式，且在區間(－∞，0)上單調遞增，符合題意；函式f(x)＝sin x是奇函式，不合題意．
4 解析：選b 函式f(x)的零點所在的區間可轉化為函式g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫座標所在的取值範圍．作圖如下：
可知f(x)的零點所在的區間為(1,2)．
5d 因為－<－<0，所以》0＝1，即a>b>1，且<0＝1，所以c<1，
6b 依題意得，f′(x)>0，則f(x)是定義在(－1,1)上的奇函式、增函式．不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0等價於f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，則－1<1－a27解析：選d 若a≥0，則＋1＝2，得a＝1；若a<0，則＋1＝2，得a＝－1.
8解析：選c 由題意得，x≠0，排除a；當x<0時，x3<0,3x－1<0，∴ >0，排除b；又∵x→＋∞時，→0，∴排除d，故選c.
9解析：選c 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.當a＜1時，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.
當a≥1時，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.綜上，a≥，故選c.
10c 原不等式變形為m2－m＜x，∵函式y＝x在(－∞，－1]上是減函式，∴ x≥－1＝2，當x∈(－∞，－1]時，m2－m＜x恆成立等價於m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
11解析：函式y＝f(x)的圖象是由y＝f(x＋3)的圖象向右平移3個單位長度而得到的．
故y＝f(x)的圖象經過點(4,4)．答案：(4,4)
12解析：當x≥1時，函式f(x)＝為減函式，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x<1時，函式f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函式f(x)的最大值
13解析：要使函式f(x)在r上單調遞增，
則有即解得214解析： 令函式g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，對稱軸為x＝a，要使函式在(－∞，1]上遞減，則有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
15解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝或1.作出y＝f(x)的圖象，由圖象知零點的個數為5.
16解：(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－ab－3÷(ab)
＝－a·b＝－·＝－.
(3) lg －lg＋lg＝(5lg 2－2lg 7)－··3lg 2＋(lg 5＋2lg 7)＝(lg 2＋lg 5)＝.
17解：(1)由於f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
(2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x，x∈r.
(3)在f(x)＝2f －1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，
將f＝－1代入f(x)＝2f －1中，可求得f(x)＝＋.
18解：(1)要使函式f(x)有意義．則解得－1故所求函式f(x)的定義域為(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定義域為(－1,1)，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)為奇函式．
(3)因為當a>1時，f(x)在定義域(－1,1)內是增函式，
所以f(x)>0>1，解得00的x的解集是(0,1)．
19解：(1)因為f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因為方程f(x)＝0有且只有乙個根，所以δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝(x＋1)2.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
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