競賽講座05
－幾何解題途徑的探求方法
王三祝 一．充分地展開想象
想象力，就是人們平常說的形象思維或直覺思維能力。想象力對於人們的創造性勞動的重要作用，馬克思曾作過高度評價：「想象是促進人類發展的偉大天賦。
」解題一項創造性的工作，自然需要豐富的想象力。在解題過程中，充分展開想象，主要是指：
1．全面地設想
設想，是指對同一問題從各個不同的角度去觀察思考和深入分析其特徵，推測解題的大致方向，構思各種不同的處理方案。
例1．在中，ab=ac，d是bc邊上一點，e是線段ad上一點 ，且，求證：bd=2cd（92年全國初中聯賽試題）
例2． 在中，ab>ac，的外角平分線交的外接圓於d，於e。求證：（89年全國高中聯賽試題）
3．在的斜邊上取一點d，使的內切圓相等。證明：（31屆imo備選題）
例4．設a是三維立體的長方體磚塊。若b是所有到a的距離不超過1的點的集合（特別地，b包含a），試用的多項式表示b的體積（84年美國普特南數學竟賽試題）
2．廣泛地聯想
聯想，是指從事物的相聯糸中來考慮問題，從一事物想到與其相關的各種不同的事物，進行由此彼的思索。在解題過程中，我們如能根椐問題特徵廣泛地聯想熟知命題，並設法將其結論或解法加以利用，則無疑是獲得解題途徑的簡捷方法。
例5．在中角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若角a，b，c的大小成等比數列，且，求角b（85年全國高中聯賽試題）
例6．四邊形abcd內接於，對角線於，是的中點，（78年上海高中竟賽試題）
例7． 在正方體中，是的中點，在稜上，且，求平面與底面所成的二面角。（85年全國高中聯賽試題）
例8． 設為0的內接四邊形，依次為
的垂心。求證：四點在同乙個圓上，並確定該圓的圓心位置。（92年全國高中聯賽試題）
3．大膽地猜測想
猜想，是指由直覺或某些數學事實，推測某個判斷或命題可能成立的一種創造性的思維活動過程。科學家都非常重視猜想的作用。譽滿世界被稱為數學王子的德國數學家高斯就曾深有體會地說：
「沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發現。」「若無某種放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展的。」在解題過程中，通過猜想不僅可以得到問題的結論，而且還可以獲得解題的途徑，但應注意，由猜想所得出的結論不一定可靠，其正確性還必須經過嚴格的邏輯證明或實踐的檢驗。
例9． 正方形的邊長為1，分別是邊與邊上各一點。若的周長為2。求（88年國家隊選拔試題）
例10．已知圓內接四邊形的對角線與相交於。求證：
例11．已知四面體的六條稜長之和為，並且
，試求它的最大體積。（28屆imo備選題）
例12．設正方體的稜長為，過稜上一點作一直線與稜和的延長線分別交於，試問：當在稜上移動時，線段最短時的長度是多少？證明你的結論。
二．精心地進行模擬
模擬，是指人們在觀察或思考問題時，往往把相似的事物加以比較，並把處理某些事物的成功經驗用到與其性質相似的另一些事物上去的思維方式。在解題過程中，若能將它與相似的問題精心地進行模擬，則往往可由此得到解題途徑，甚至發現新的知識。
例13．四邊形內接於⊙，對角線與相交於，設和的外接圓圓心分別為。求證：三直線共點。（90年全國高中聯試題）
例14．在四面體中，已知，試問：之間有何關係？證明你的結論。
例16．設是四體內部的任意一點，和的延長線分別與面和交於。求證：
三．合理地利用特殊
例17.和在邊的同側, ,且邊與邊相交於點.求證:.
例18.已知半徑分別為、（>）的兩圓內切於，是外圓的直徑，的垂線與兩圓分別交於同側的兩點和，試求的外接圓直徑（83年蘇聯競賽題）
例19．設是的角平分線，且點共線（），則
（79年蘇聯競賽題）
例20．已知菱形外切於⊙，是與邊分別交於的⊙的任一切線，求證：為定值。（89年蘇聯奧賽題）
例21．設是正三角形外接圓的劣弧上任一點，求證：（1）；（2）
例22．求證：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個內角的余弦之和小於這個三角形周長的一半。
例23．外置於⊙，是弧上一點，過作的垂線，與分別於，與分別義於。求證：的充要條件是。
例24．在凸六邊形中，若對角線中的每一條都把六邊形分成面積相等的兩部分，則這三條對角線相交於一點（88年蘇聯奧賽題）
習題1．若是的的平分線，且，則（78年四川聯賽試題）
2．在中，，任意延長到，再延長到，使。
求證：的外心與四點共圓（94年全國初中聯賽試題）
3．平面上已給一銳角，以中直徑的圓交高及延長線於，以為直徑的圓交高及其延長線於，證明：四點共圓（90年美國19屆奧賽題）
4．已知一凸五邊形中，，且，求證：（90年全國初中聯賽題）
5．在中，，的對邊分別為，已知，
，求它的最大角的度數（90年蘇聯奧賽試題）
6．已知銳角的頂點到垂心，外心的距離相等，求（90年匈牙利奧賽題）
7．在三稜錐中，，△和△都有等腰三角形，是邊上任意一點，在平面內作於，是的中點，求證：為定值。
9．設不過給定的平行四邊形頂點的任一直線分別與直線交於，則⊙與⊙的另一交點必在定直線上。
10．設是任意四邊形（包括凹四邊形），則的充要條件是：
（2023年匈牙利競賽試題）
11．如圖，圓的三條弦兩兩相交，交點分別為。若。求證：△是正三角形。（28屆imo備選題）
12．已知銳角△的外接圓半徑為，分別是邊上的點，求證：是三條高的充要條件是： (86年全國高中聯賽試題)
13.凸四邊形內接於⊙,對角線與相交於,△與△的外接圓相交於和另一點,且三點兩兩不重合,則(第8屆cmo試題)
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