2023年第二屆全國青年力學競賽材料力學試題
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一、圖1表示一等截面直樑，其左端固支，而右端鉸支並在跨度中點承受集中載荷p，力p作用於梁的對稱麵內，材料服從胡克定律，且彈性模量e，許用應力、梁的跨長l、截面慣矩與抗彎模量w均為已知。試
1．確定鉸支端反力。（2分）
2．確定梁危險截面的彎矩 。（3分）
3．確定許用載荷（3分）
4．移動鉸支座在鉛垂方向的位置，使許用載荷為最大。試求此時鉸支座b
在鉛垂方向的位移（4分）與最大許用載荷。（4分）
二、圖2表示一副雙槓，它的每一根橫樑系由兩根立柱支撐，設兩柱之間的跨長為；每一橫樑具有兩個外伸段，設每一外伸段長度均為。假定運動員在雙槓上做動作時，在每一根橫樑上只有乙個力的作用點，力的作用線垂直於橫樑，而且力的大小與作用點的位置無關。試決定在雙槓設計中，與的最佳比值，該比值使橫樑重量為最輕，橫樑與立柱的連線為鉸接。
的最佳比值為多少？（8分）
三、圖3表示一等截面直樑的橫截面，它是z字形的。該梁受純彎曲，材料服從胡克定律，且截面的慣性矩與以及慣性積均為已知。假定中性軸垂直於截面的腹板，即與軸相重合，試確定彎矩向量與軸之夾角。
（8分）
四、圖4表示一勻質、等厚矩形板，承受一對集中載荷p，材料服從胡克定律，彈性模量e與泊松係數均為已知。設板具有單位厚度，試求板的面積a的改變量。（8分）
五、為了在圖5所示a與b兩個固定點之間產生張力，人們常在這兩點之間繃上兩根繩子，然後從中點c絞緊。現設繩子的橫截面為圓形，其半徑為，繩子材料的彈性模量e。假定在絞緊過程中a與b兩點間的距離保持不變，繩子的橫截面形狀與大小保持不變，
同時在絞緊前，繩子的初始張力為零。試求為了使a與b之間的張力達到p所必需的絞緊圍數。設。（8分）
六、圖6表示一等直杆，承受單軸均勻拉伸。變形前桿長為橫截面面積為在拉力為p時，桿長為l，橫截面面積為a。材料進人塑性，可以略去彈性變形並假定桿件體積不變。
這時軸向應變與橫截面應力的關係具有如下的冪函式形式：。
式中，與n均為材料已知常數且n＞1。
1．試求當拉力p達到極大值時杆的長度（8分）
2．試求該拉力 p的極大值。（4分）
七、圖7表示兩端固定的圓截面杆，其ab段為實心杆，bc段為空心杆，即圓管。兩段杆材料相同。在杆的截面 b處作用力偶矩m，**彈性條件下，當許用力偶矩達到最大值時，兩段長度比？
（8分）。
八、圖8表示一根懸臂矩形截面等直彈性梁，在自由端固定一集中質量m。在梁的上表面撒了一些細沙粒，靜平衡位置梁的撓度忽略不計。首先，給該梁自由端以初始向下的鉛垂位移。
然後，突然放鬆使梁產生振動。已知梁的截面慣性矩為，長度為，彈性模量
為e，不計梁和沙粒質量對振動的影響。集中質量m的轉動慣量亦略去不計。重力沿g軸的負方向，重力加速度為g，試求：
1．梁的固有頻率。（3分）
2．在梁振動任意時間時截面的彎矩。（3分）
3．在梁振動時，如果有乙個位置（見圖8），當沙粒座標時，沙粒將跳離該梁，試寫出確定的條件（如由方程確定，可不解方程，只作說明）（3分）
4．梁上總有沙粒跳離該梁的條件是，？（3分）
九、圖9表示由鉛垂剛性杆和兩根鋼絲繩組成的結構，剛性杆上端受鉛垂壓力p、鋼絲繩的橫截面面積為a、彈性模量為e，鋼絲繩的初拉力為零。設結構不能在垂直於圖面方向運動。試求該結構的臨界載荷。
（8分）
十、圖10表示由五根等直杆與剛性梁 ab組成的平面結構。各桿的彈性模量e、橫截面面積 a、長度與間距 b均相同且已知。在剛性梁上距杆 1為（）處作用一鉛垂載荷p，今欲通過電測方法測定p和的值。
試1．給出最佳貼片方案：
應變片的片數；（2分）應變片各貼在何處。（2分）
2．給出p和與測得的應變值（為杆的編號）的關係式。
p；（4分）＝？。（4分）
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