一、方程的概念
從分析問題的數量關係入手，通過設定未知數，把問題中的已知量與未知量的數量關係，轉化為方程或方程組等數學模型，然後利用方程的理論或方法，使問題得到解決。
1.一般方程：未知數的個數恰好等於方程的個數。
2.不定方程：未知數的個數多於方程的個數。
二、設未知數的方法
1、直接設：所求量為基本未知量，就直接設這個基本未知量為x。
例：某單位舉辦慶國慶茶話會，買來4箱同樣重的蘋果，從每箱取出24千克後，結果各箱所剩的蘋果重量的和，恰好等於原來一箱的重量。那麼原來每箱蘋果重多少千克?
a.16 b.24 c.32 d.36
答案：c。設原來每箱蘋果重x千克，由此得出方程
(x-24)×4=x，解得x=32。
2、間接設：所問量為復合未知量，就設基本未知量為x，再間接表示出復合未知量。
例：甲、乙、丙、丁四個隊共同植樹造林，甲隊造林的畝數是另外三個隊造林總畝數的1/4，乙隊造林的畝數是另外三個隊造林總畝數的1/3，丙隊造林的畝數是另外三個隊造林總畝數的一半。已知丁隊共造林3900畝，問甲隊共造林多少畝?
a.9000 b.3600 c.6000 d.4500
答案：b。中公解析：
根據題目中的比例關係，可知造林總畝數為5、4、3的倍數，設造林的總畝數為60x畝，甲隊造林的畝數為12x，乙隊為15x，丙隊為20x，則依題意得：12x+15x+20x+3900=60x，解得：x=300。
所以甲的植樹畝數為12×300=3600(畝)。
三、列方程技巧——尋找等量關係
1、等量構造法
如果在題幹中發現「等」「是」「比……多(少)」，我們可以通過這些標誌性的語句找到等量關係列出方程。
數學裡一些基本的公式，常用的數量關係也能構造成等量關係。(例如利潤問題、行程問題、工程問題公式等)。
例：光明小學今年植樹1080棵，比去年植樹棵數的2倍還多98棵。去年植樹多少棵?
中公解析：根據關鍵字「比……多(少)」找到等量關係：去年植樹棵數×2+98棵=今年植樹棵數，設去年植樹棵數為x，2x+98=1080， x=491。
2、比較構造法
將物品進行兩種情況的平均分配，有些情況下有剩餘，有些情況下有不足，這時就可以採用比較構造法比較兩個條件之間的差別，找出其中的等量關係再列出方程。
例：將一堆蘋果放進一些筐，如果每筐放12個，則多出三個蘋果放不下，如果每筐放14個，則又缺5個蘋果，共有多少個筐?
中公解析：每筐放12個比每筐放14個的剩餘的數量多8個，所以每筐放12個蘋果的總數比每筐放14個的總數要少8個蘋果，所以得出等量關係2x=8，所以有筐4個。
四、解方程技巧
1.一般方程
①消元法
將方程組中的乙個方程的未知數用含有另乙個未知數的代數式表示，並代入到另乙個方程中去，這就消去了乙個未知數,得到乙個解，這叫消元法。
例：一瓶酒精用完後，連瓶共重800克，用去一半以後，連瓶重700克，請問瓶子的重量是多少克?
a.100 b.200 c.300 d.400
中公解析：設瓶內酒精原來重x克，瓶子重y克，則可列方程組：
，兩式相減求得x=600，代入其中乙個方程解得y=400，故瓶重為400克，選擇d。
2.不定方程
1)數的特性
①同餘。
②整除法：利用不定方程中各數除以同乙個除數所得餘數的關係來求解。
2x+3y=21的自然數解。我們注意到，21除以3餘0，3y肯定除以3餘0，2x=21-3y，那麼2x也應是除以3餘0，這樣x只能取是3的倍數的數了，如：0、3、6等等。
例：某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購買了三種不同食品中的一種，且每人只購買了乙份。已知蓋飯15元乙份，水餃7元乙份，麵條9元乙份，他們一共花費了60元。
問他們中最多有幾人買了水餃?
a.1 b.2 c.3 d.4
答案：c。中公解析：
設買蓋飯，水餃和麵條的人數分別是x、y和z，則依題意可得15x+7y+9z=60。15x，9z，60都能被3整除，所以7x必能被3整除，x能被3整除，選c。
③奇偶性：採用最多的解不定方程的方法就是奇偶性。
不定方程5x+4y=59，59是乙個奇數，4y一定是個偶數，那麼，5x就一定是個奇數，那麼x取值只能取奇數，如1、3、5……
例：某兒童藝術培訓中心有5名鋼琴教師和6名拉丁舞教師，培訓中心將所有的鋼琴學員和拉丁舞學員共76人分別平均地分給各個老師帶領，剛好能夠分完，且每位老師所帶的學生數量都是質數。後來由於學生人數減少，培訓中心只保留了4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，但每名教師所帶的學生數量不變，那麼目前培訓中心還剩下學員多少人?
a.36 b.37 c.39 d.41
答案：d。中公解析：此題初看無處入手，條件僅僅有每位教師所帶學生數量為質數，條件較少，無法直接利用數量關係來推斷，需利用方程法。
設每位鋼琴教師帶x名學生，每位拉丁舞教師帶y名學生，則x、y為質數，且5x+6y=76。對於這個不定方程，需要從整除特性、奇偶性或質合性來解題。
很明顯，6y是偶數，76是偶數，則5x為偶數，x為偶數。然而x又為質數，根據「2是唯一的偶質數」可知，x=2，代入原式得y=11。
現有4名鋼琴教師和3名拉丁舞教師，則剩下學員4×2+3×11=41人。因此選擇d。
④質合性。
⑤尾數：看到一些以0或5結尾的數，想到尾數法。
不定方程5x+4y=59的自然數解。和的個位數是9，說明5x的個位數字一定是5，那麼x一定取奇數;4y的個位數字一定是4，那麼y只能是1、4、6結尾。
例：現有149個同樣大小的蘋果往大、小兩個袋子中裝，已知大袋每袋裝17個蘋果，小袋每袋裝10個蘋果。每個袋子都必須裝滿，則需要大袋子的個數是?
a.5 b.6 c.7 d.8
答案：c。中公解析：
設需要大袋子x個，小袋子y個，得到17x+10y=149，由於小袋子每袋裝10個蘋果，所以無論有多少個小袋子，所能裝的蘋果數的尾數永遠為0，即10y的尾數為0,;而大袋每袋裝17個蘋果，17x的尾數為9，所以x的尾數為7，選c。
2)帶入排除
直接將選項代入題目，看哪個選項符合題目的要求。
例：有若干張卡片，其中一部分寫著1.1，另一部分寫著1.11，它們的和恰好是43.21。寫有1.1和1.11的卡片各有多少張?
a.8張，31張 b.28張，11張 c.35張，11張 d.41張，1張
答案：a。中公解析：
設寫有1.1的卡片x張，1.11的卡片y張，1.
1x+1.11y=43.21，,代入a，8×1.
1+31×1.11= 43.21，符合題意。
文章**：邵陽中公教育網
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