必修一第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義:某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性:
1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性
說明:(1)對於乙個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的物件,相同的物件歸入乙個集合時,僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的,沒有先後順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3.集合的表示方法:列舉法與描述法。
非負整數集(即自然數集)記作:正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
二、集合間的基本關係
1.對於兩個集合a與b,如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素,同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素,我們就說集合a等於集合b,即:a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1 b那就說集合a是集合b的真子集,記作a b(或b a)
③如果 aíb, bíc ,那麼 aíc
④ 如果aíb 同時 bía 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為φ
規定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1.交集的定義:一般地,由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集.
記作a∩b(讀作」a交b」),即a∩b=.
2、並集的定義:一般地,由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合,叫做a,b的並集。記作:a∪b(讀作」a並b」),即a∪b=.
3、交集與並集的性質:a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a,a∪a = a,
a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4、全集與補集
(1)補集:設s是乙個集合,a是s的乙個子集(即 ),由s中所有不屬於a的元素組成的集合,叫做s中子集a的補集(或餘集)
(2)全集:如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
(3)性質:⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
二、函式的有關概念
1.函式的概念:設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式.記作:
y=f(x),x∈a.其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.
☆求函式的定義域時列不等式組的主要依據是:(1)分式的分母不等於零; (2)偶次方根的被開方數不小於零; (3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.
那麼,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
☆構成函式的三要素:定義域、對應關係和值域
3. 函式圖象
(1)定義:在平面直角座標系中,以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標,函式值y為縱座標的點p(x,y)的集合c,叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象.
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有
4.區間的概念
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示.
說明:函式是一種特殊的對映,對映是一種特殊的對應,①集合a、b及對應法則f是確定的;②對應法則有「方向性」,即強調從集合a到集合b的對應,它與從b到a的對應關係一般是不同的;③對於對映f:a→b來說,則應滿足:
(ⅰ)集合a中的每乙個元素,在集合b中都有象,並且象是唯一的;(ⅱ)集合a中不同的元素,在集合b中對應的象可以是同乙個;(ⅲ)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
常用的函式表示法及各自的優點:
注意啊:解析法:便於算出函式值。列表法:便於查出函式值。圖象法:便於量出函式值
補充一:分段函式 (參見課本p24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來,並分別註明各部分的自變數的取值情況.(2)分段函式的定義域是各段定義域的並集,值域是各段值域的並集.
補充二:復合函式
如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x),(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
例如: y=2sinx y=2cos(x2+1)
7.函式單調性
(1).增函式
設函式y=f(x)的定義域為i,如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1,x2,當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1,x2,當x1注意:1 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函式的區域性性質;
(2) 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式,那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的,減函式的圖象從左到右是下降的.
☆(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法:
1 任取x1,x2∈d,且x1(b)圖象法(從圖象上看公升降)_
(c)復合函式的單調性
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關
8.函式的奇偶性
(1)偶函式
一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)就叫做偶函式(2).奇函式
一般地,對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x,都有f(-x)=—f(x),那麼f(x)就叫做奇函式.
☆注意:1 函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性,函式的奇偶性是函式的整體性質;函式可能沒有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。
2 由函式的奇偶性定義可知,函式具有奇偶性的乙個必要條件是,對於定義域內的任意乙個x,則-x也一定是定義域內的乙個自變數(即定義域關於原點對稱).
(3)具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱;奇函式的圖象關於原點對稱.
總結:利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟:1 首先確定函式的定義域,並判斷其定義域是否關於原點對稱;2 確定f(-x)與f(x)的關係;3 作出相應結論:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函式;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函式.
10.函式最大(小)值
1 利用二次函式的性質(配方法)求函式的最大(小)值2 利用圖象求函式的最大(小)值3 利用函式單調性的判斷函式的最大(小)值:如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函式y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第二章基本初等函式
一、指數函式
(一)指數與指數冪的運算
2.分數指數冪
0的正分數指數冪等於0,0的負分數指數冪沒有意義
指出:規定了分數指數冪的意義後,指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數,那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪.
3.實數指數冪的運算性質
(1)(2(3
(二)指數函式及其性質
1、注意:指數函式的底數的取值範圍,底數不能是負數、零和1.
2、指數函式的圖象和性質
二、對數函式
(一)對數
1.對數的概念:一般地,如果 ,那麼數叫做以為底的對數,記作: ( — 底數, — 真數, — 對數式)
兩個重要對數:
1 常用對數:以10為底的對數 ;
2 自然對數:以無理數e 為底的對數的對數 .
對數式與指數式的互
對數式指數式
對數底數冪底數
對數指數
真數冪(二)對數的運算性質
1 23 注意:換底公式
利用換底公式推導下面的結論(1) ;(2) .
(二)對數函式
注意:1 對數函式的定義與指數函式類似,都是形式定義,注意辨別。
2 對數函式對底數的限制:
(三)冪函式
1、冪函式性質歸納.
(1)所有的冪函式在(0,+∞)都有定義,並且圖象都過點(1,1);
(2) 時,冪函式的圖象通過原點,並且在區間上是增函式.特別地,當時,冪函式的圖象下凸;當時,冪函式的圖象上凸;
(3) 時,冪函式的圖象在區間上是減函式.在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨於時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.
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高一數學必修4知識點 2 角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為 4 ...
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第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 元素的確定性 元素的互異性 元素的無序性 3 集合的表示方法 列舉法與描述法 集合的表示 a b 特殊集合 非負整數集 即自然數集 n 正整數集 n 或 n...
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第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合,其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1.元素的確定性 2.元素的互異性 3.元素的無序性.3 集合的表示 1 如,2 用拉丁字母表示集合 a b 4 集合的表示方法 列舉法與描述法。常用數集及...