第一章集合與函式（3）
一、函式表示法
1、三種表示方法
（1）解析法：必須註明函式的定義域；
（2）列表法：選取的自變數的值要有代表性，應能反映定義域的特徵．
（3）圖象法：函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等。注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據；解析法便於算出函式的精確值。
列表法便於查出函式值。圖象法便於了解函式的性質。
2、關於函式的解析式
（1）.函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）.求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法；已知復合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍；當已知表示式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
2、函式的影象
1、定義：
在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．
c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上，即記為c=。圖象c常常是一條光滑的連續曲線(或直線),但也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。
2、畫法：
a、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
b、圖象變換法：常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換。
3、常用的函式的影象
應熟悉並熟練地作出一次函式、二次函式、冪函式、指數函式、對數函式及三個三角函式的影象。
4、作用：
1、直觀的看出函式的性質；
2、利用數形結合的方法分析解題的思路，提高解題的速度。
3、往往可由影象發現解題中的錯誤。
二、分段函式和復合函式
1、分段函式
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．
注意：（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；
（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集。
2、復合函式
如果函式y=f(u) (u∈m),u=g(x) (x∈a),則函式y=f[g(x)]=f(x)（定義域為?） 稱為f、g的復合函式。
兩個函式能復合成為乙個復合函式的充要條件是：外層函式的定義域與內層函式的值域之交集非空。
三、函式的幾何性質
1、函式的單調性
(1)概念
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1f(x2)），那麼就說f(x)在區間d上是增（減）函式，區間d稱為y=f(x)的單調增（減）區間。
注意：① 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
② 必須是對於區間d內自變數的任意兩個值x1，x2；當x1(2)幾何意義
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3)函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
步驟：①任取x1、x2∈d，且x1(b)圖象法
從圖象上看公升降，從左到右上公升者為增函式，下降者為減函式。
(c)復合函式的單調性
?? 兩個函式復合而成的復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性之間的關係是：同增異減。
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間合在一起寫成其並集.
高中高一數學必修1各章知識點總結
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