二次函式
二次函式是中考的必考題，每年的中考必考分值13分，
在高中二次函式也佔重要地位。在學習過程中，主要學習
二次函式的解析式、性質、影象以及運用。
學以致用才是學習的最高境界
領航編輯
第一部分二次函式基礎知識
相關概念及定義
二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二次函式各種形式之間的變換
二次函式用配方法可化成：的形式，其中.
二次函式由特殊到一般，可分為以下幾種形式
二次函式解析式的表示方法
一般式：（，，為常數，）；
頂點式：（，，為常數，）；
兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
☆、幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；
相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
對稱軸：平行於軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.
頂點座標座標：
頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函式，如果二次項係數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
拋物線中，與函式影象的關係
二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大
小． 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
總結： 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
求拋物線的頂點、對稱軸的方法
公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
用待定係數法求二次函式的解析式
一般式：.已知影象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
頂點式：.已知影象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
交點式：已知影象與軸的交點座標、，通常選用交點式：.
直線與拋物線的交點
● 軸與拋物線得交點為(0,).
● 與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
● 拋物線與軸的交點:二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
平行於軸的直線與拋物線的交點
可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
一次函式的影象與二次函式的影象的交點，
由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有乙個交點；③方程組無解時與沒有交點.
拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
二次函式圖象的對稱:二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
總結：根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
二次函式圖象的平移
平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
第二部分基本題型
一、二次函式的定義
（考點：二次函式的二次項係數不為0，且二次函式的表示式必須為整式）
1、下列函式中，是二次函式的是
①y=x2－4x+1； ②y=2x2y=2x2+4x； ④y=－3x；
⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =錯誤！未定義書籤。； ⑧y=－5x。
2、在一定條件下，若物體運動的路程s（公尺）與時間t（秒）的關係式為s=5t2+2t，則t＝4秒時，該物體所經過的路程為 。
3、若函式y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關於x的二次函式，則m的取值範圍為
4、已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
5、函式y=(m+3)xm2+m-4，當m2
時，它的圖象是拋物線．
二、二次函式的對稱軸、頂點、最值
考點連線：
如果解析式為，則對稱軸最值為
如果解析式為，則對稱軸最值為
如果解析式為，則對稱軸最值為
如果解析式為頂點式：y=a(x－h)2+k，則對稱軸為最值為
如果解析式為一般式：y=ax2+bx+c，則對稱軸為最值為
如果解析式為交點式：y=(x-x1)(x-x2), 則對稱軸為最值為
1．拋物線y=2x2+4x+m2－m經過座標原點，則m的值為
2．拋物y=x2+bx+c線的頂點座標為（1，3），則b＝ ，c＝ .
3．拋物線y＝x2＋3x的頂點在( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
4．已知拋物線y＝x2＋(m－1)x－的頂點的橫座標是2，則m的值是
5．若二次函式y=3x2+mx－3的對稱軸是直線x＝1，則m
6．當n＝______，m＝______時，函式y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的圖象是拋物線，且其頂點在原點，此拋物線的開口
7．已知二次函式y=x2－4x+m－3的最小值為3，則m
三、函式y=ax2+bx+c的圖象和性質
知識點：（1）①當時拋物線開口向上頂點為其最低點；
②當時拋物線開口向下頂點為其最高點.
③｜｜越大，開口越小。
（2）頂點是，對稱軸是直線
（3）①當時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小；在在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大；
②當時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小。
（4）軸與拋物線得交點為(0,)
1．拋物線y=x2+4x+9的對稱軸是
2．拋物線y=2x2－12x+25的開口方向是 ，頂點座標是
3．試寫出乙個開口方向向上，對稱軸為直線x＝－2，且與y軸的交點座標為（0，3）的拋物線的解析式
4．通過配方，寫出下列函式的開口方向、對稱軸和頂點座標：
（1）y=x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； （3）y=－x2+x－4
四、二次函式的平移
技法：只要兩個函式的a 相同，就可以通過平移重合。將二次函式一般式化為頂點式y=a(x－h)2+k，平移規律：左加右減，對x；上加下減，直接加減
1、試寫出拋物線y=3x2經過下列平移後得到的拋物線的解析式並寫出對稱軸和頂點座標。
（1）右移2個單位；（2）左移個單位；（3）先左移1個單位，再右移4個單位。
2、拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖象的解析式為y=x2-2x-3，則b、c的值。
3、把拋物線y=－2x2+4x+1沿座標軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。
二次函式知識點
二次函式知識點總結及相關典型題目 第一部分基礎知識 1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解...
二次函式知識點
1.定義 一般地，如果是常數，那麼叫做的二次函式.2.二次函式的性質 1 拋物線的頂點是座標原點，對稱軸是軸.2 函式的影象與的符號關係.當時拋物線開口向上頂點為其最低點 當時拋物線開口向下頂點為其最高點.3 頂點是座標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函式的影象是對稱軸平行於 包括重...
二次函式知識點
26.1.1二次函式的概念 1 下列函式中哪些是二次函式？哪些不是？若是二次函式，說出二次項的係數。1 y 1 3x2 2 y 3x2 2x 3 s t t 5 2 4 y 3x3 2x2 5 y x 2 將下列二次函式化為一般形式，並指出各項的係數和常數項。1 y x 12 y x 1 x 5 3...