第三章圓
1. 點與圓的位置關係及其數量特徵：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則
①點在圓上 <===> d=r; ②點在圓內 <===> d d>r.
二. 圓的對稱性:
※1. 與圓相關的概念：
④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。
⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。
⑥等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.
※2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。
※3. 垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
說明：根據垂徑定理與推論可知對於乙個圓和一條直線來說，如果具備：
過圓心；②垂直於弦；③平分弦；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧。
上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。
※4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。
推論: 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.
三. 圓周角和圓心角的關係:
※1. 圓周角的定義:頂點在圓上,並且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.
※2. 圓周角定理； 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半.
※推論1: 同弧或等弧所對圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對弧也相等；
※推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；
※四. 確定圓的條件:
※1. 理解確定乙個圓必須的具備兩個條件:
經過一點可以作無數個圓,經過兩點也可以作無數個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.
※2. 定理: 不在同一直線上的三個點確定乙個圓.
※3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念:
(1)三角形的外接圓和圓的內接三角形: 經過乙個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.
(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.
五. 直線與圓的位置關係
設⊙o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d；①d 直線l和⊙o相交.
②d=r <===> 直線l和⊙o相切.③d>r <===> 直線l和⊙o相離.
※3. 切線的判定定理: 經過半徑的外端並且垂直於這個條半徑的直線是圓的切線.
※4. 切線的性質定理:圓的切線垂直於過切點的半徑.
※推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點.
※推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心.
※分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關係,可得如下結論:
如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.
①垂直於切線; ②過切點; ③過圓心.
5. 三角形的內切圓、內心、圓的外切三角形的概念.
和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心, 這個三角形叫做圓的外切三角形.
※6. 三角形內心的性質:
(1)三角形的內心到三邊的距離相等.
(2)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角.
由此性質引出一條重要的輔助線: 連線內心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內角.
六. 圓和圓的位置關係.
※2. 兩圓位置關係的性質與判定:
(1)兩圓外離 <===> d>r+r
(2)兩圓外切 <===> d=r+r
(3)兩圓相交 <===> r-r(4)兩圓內切 <===> d=r-r (r>r)
(5)兩圓內含 <===> dr)
※3. 相切兩圓的性質: 如果兩個圓相切,那麼切點一定在連心線上.
※4. 相交兩圓的性質；相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
七. 弧長及扇形的面積
※1. 圓周長公式:圓周長c=2r (r表示圓的半徑)
※2. 弧長公式: 弧長(r表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數)
※5. 圓的面積公式. 圓的面積(r表示圓的半徑)
※6. 扇形的面積公式:
扇形的面積(r表示圓的半徑, n表示弧所對的圓心角的度數)
¤九. 與圓有關的輔助線
1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過弦的一端作半徑為輔助線.
2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.
3.如乙個圓有切線的條件,常作過切點的半徑(或直徑)為輔助線.
4.若條件交代了某點是切點時,鏈結圓心和切點是最常用的輔助線.
¤十. 圓內接四邊形
若四邊形的四個頂點都在同乙個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.
圓內接四邊形的特徵: ①圓內接四邊形的對角互補;
②圓內接四邊形任意乙個外角等於它的內錯角.
※十一.北師版數學未出現的有關圓的性質定理（數學優秀者請理解）
1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
如圖6，∵pa，pb分別切⊙o於a、b
∴pa=pb，po平分∠apb
2019北師大版初三下冊數學知識點總結
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