一 、空間幾何體
(一) 空間幾何體的型別
1.多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜，稜與稜的公共點叫做多面體的頂點。
2.旋轉體：把乙個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉體的軸。
(二) 幾種空間幾何體的結構特徵
1 、稜柱的結構特徵
1.1 稜柱的定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。
1.2 稜柱的分類
稜柱四稜柱平行六面體直平行六面體長方體正四稜柱正方體
性質1.側面都是平行四邊形且各側稜互相平行且相等2.兩底面是全等多邊形且互相平行；3.平行於底面的截面和底面全等；
1.3 稜柱的面積和體積公式
（是底周長，是高）
s直稜柱表面 = c·h+ 2s底
v稜柱 = s底 ·h
2 、稜錐的結構特徵
2.1 稜錐的定義
(1)稜錐：有乙個面是多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐。
(2)正稜錐：稜錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上。
2.2 正稜錐的結構特徵
ⅰ、 平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；它們面積的比等於截得的稜錐的高與原稜錐的高的平方比；截得的稜錐的體積與原稜錐的體積的比等於截得的稜錐的高與原稜錐的高的立方比；
ⅱ、 正稜錐的各側稜相等，各側面是全等的等腰三角形；
正稜錐側面積：（為底周長，為斜高）
體積：（為底面積，為高）
正四面體：
對於稜長為正四面體的問題可將它補成乙個邊長為的正方體問題。
對稜間的距離為（正方體的邊長）
正四面體的高（）
正四面體的體積為（）
正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）
3 、稜臺的結構特徵
3.1 稜臺的定義：用乙個平行於底面的平面去截稜錐，我們把截面和底面之間的部分稱為稜臺。
3.2 正稜臺的結構特徵
（1）各側稜相等，各側面都是全等的等腰梯形；
（2）正稜臺的兩個底面和平行於底面的截面都是正多邊形；
（3）正稜臺的對角面也是等腰梯形；
（4）各側稜的延長線交於一點。
4 、圓柱的結構特徵
4.1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。
4.2 圓柱的性質
（1）上、下底及平行於底面的截面都是等圓； （2）過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。
4.3 圓柱的側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。
4.4 圓柱的面積和體積公式
s圓柱側面 = 2π·r·h (r為底面半徑，h為圓柱的高) s圓柱全 = 2π r h + 2π r2 v圓柱 = s底h = πr2h
5、圓錐的結構特徵
5.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。
5.2 圓錐的結構特徵
（1） 平行於底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
（2）軸截面是等腰三角形；
（3）母線的平方等於底面半徑與高的平方和： l2 = r2 + h2
5.3 圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
6、圓台的結構特徵
6.1 圓台的定義：用乙個平行於底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓台。
6.2 圓台的結構特徵：
⑴ 圓台的上下底面和平行於底面的截面都是圓；
⑵ 圓台的截面是等腰梯形；
⑶ 圓台經常補成圓錐，然後利用相似三角形進行研究。
6.3 圓台的面積和體積公式： s圓台側 = π·(r + r)·l (r、r為上下底面半徑)
s圓台全 = π·r2 + π·r2 + π·(r + r)·l v圓台 = 1/3 (π r2 + π r2 + π r r) h (h為圓台的高)
7 球的結構特徵
7.1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體。空間中，與定點距離等於定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。
7-2 球的結構特徵
⑴ 球心與截面圓心的連線垂直於截面；
⑵ 截面半徑等於球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = r2 – d2
★7-3 球與其他多面體的組合體的問題
球體與其他多面體組合，包括內接和外切兩種型別，解決此類問題的基本思路是：
⑴ 根據題意，確定是內接還是外切，畫出立體圖形；
⑵ 找出多面體與球體連線的地方，找出對球的合適的切割面，然後做出剖面圖；
⑶ 將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題；
⑷ 注意圓與正方體的兩個關係：球內接正方體，球直徑等於正方體對角線；
球外切正方體，球直徑等於正方體的邊長。
7-4 球的面積和體積公式
s球面 = 4 π r2 (r為球半徑)
v球 = 4/3 π r3
（三）空間幾何體的表面積與體積
空間幾何體的表面積
稜柱、稜錐的表面積：各個面面積之和
圓柱的表面積圓錐的表面積：
圓台的表面積： 球的表面積：
扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半徑，表示弧度）
空間幾何體的體積
柱體的體積錐體的體積 ：
台體的體積球體的體積：
（四）空間幾何體的三檢視和直觀圖
正檢視：光線從幾何體的前面向後面正投影，得到的投影圖。
側檢視：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。
俯檢視：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。
★畫三檢視的原則：
正俯長相等、正側高相同、俯側寬一樣注：球的三檢視都是圓；長方體的三檢視都是矩形
直觀圖：斜二測畫法
斜二測畫法的步驟：
（1）平行於座標軸的線依然平行於座標軸；
（2）平行於y軸的線長度變半，平行於x，z軸的線長度不變；
（3）畫法要寫好
用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側稜（4）成圖
二 、點、直線、平面之間的關係
（一）、立體幾何網路圖：
1、線線平行的判斷：
（1）、平行於同一直線的兩直線平行。
（3）、如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。
（6）、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
（12）、垂直於同一平面的兩直線平行。
2、線線垂直的判斷：
（7）、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
（8）、在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它和這條斜線的射影垂直。
（10）、若一直線垂直於一平面，這條直線垂直於平面內所有直線。
補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。
3、線面平行的判斷：
（2）、如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。
（5）、兩個平面平行，其中乙個平面內的直線必平行於另乙個平面。
判定定理：
性質定理：
★判斷或證明線面平行的方法
⑴ 利用定義(反證法)：，則∥α (用於判斷)；
⑵ 利用判定定理：線線平行線面平行 (用於證明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用於證明)；
⑷ 利用垂直於同一條直線的直線和平面平行(用於判斷)。
2 線面斜交和線面角：∩ α = a
2.1 直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面**影的夾角θ。
2.2 線面角的範圍：θ∈[0°，90°]
注意：當直線在平面內或者直線平行於平面時，θ=0°； 當直線垂直於平面時，θ=90°
4、線面垂直的判斷：
⑼如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直於這個平面。
⑾如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面。
⒁一直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面。
⒃如果兩個平面垂直，那麼在—個平面內垂直於交線的直線必垂直於另—個平面。
判定定理：
性質定理：（1）若直線垂直於平面，則它垂直於平面內任意一條直線。
即： （2）垂直於同一平面的兩直線平行。 即：
★判斷或證明線面垂直的方法
⑴ 利用定義，用反證法證明。
⑵ 利用判定定理證明。
⑶ 一條直線垂直於平面而平行於另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。
⑷ 一條直線垂直於兩平行平面中的乙個，則也垂直於另乙個。
⑸ 如果兩平面垂直，在一平面內有一直線垂直於兩平面交線，則該直線垂直於另一平面。
★1.5 三垂線定理及其逆定理
⑴ 斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。
如圖：⑵ 三垂線定理及其逆定理
已知po⊥α，斜線pa在平面α內的射影為oa，a是平面
α內的一條直線。
① 三垂線定理：若a⊥oa，則a⊥pa。即垂直射影則垂直斜線。
② 三垂線定理逆定理：若a⊥pa，則a⊥oa。即垂直斜線則垂直射影。
⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要應用
① 證明異面直線垂直； ② 作出和證明二面角的平面角；③ 作點到線的垂線段。
5、面面平行的判斷：
⑷乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面，這兩個平面平行。
⒀垂直於同一條直線的兩個平面平行。
6、面面垂直的判斷：
⒂乙個平面經過另乙個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。
判定定理：
性質定理：
⑴ 若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；
（2）（3）
（4）（二）、其他定理：
（1）確定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；
（2）直線與直線的位置關係： 相交 ； 平行 ； 異面 ；
直線與平面的位置關係： 在平面內 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情況） ；
立體幾何知識點總結
1.空間多邊形不在同一平面內的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線.若空間折線的最後一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線.若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是乙個不定義的概念，幾何裡的平面是無限伸展的.平面通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘...
立體幾何知識點總結
高中數學第九章 立體幾何 考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 數學探索版權所有平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 數學探索版權所有平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 數學探索版權所有多面體 正...
立體幾何知識點總結
一 平面 通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 或拉丁字母m n p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面ac.在立體幾何中，大寫字母a，b，c，表示點，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關係，例...