高中數學第九章-立體幾何
9. 立體幾何知識要點
一、 平面.
1. 經過不在同一條直線上的三點確定乙個面.
注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.
2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）
3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在乙個平面內平行，②三條直線不在乙個平面內平行）
[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.
4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（x、y、z三個方向）
二、 空間直線.
1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有乙個公共點；平行直線—共面沒有公共點；異面直線—不同在任一平面內
[注]：①兩條異面直線在同一平面**影一定是相交的兩條直線.（×）（可能兩條直線平行，也可能是點和直線等）
②直線在平面外，指的位置關係：平行或相交
③若直線a、b異面，a平行於平面，b與的關係是相交、平行、在平面內.
④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.
⑤在平面**影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等.（×）（並非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段）
⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關係為相交或平行或異面.
2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.（不在任何乙個平面內的兩條直線）
3. 平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行.
4. 等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等（如下圖）.
二面角的取值範圍）
直線與直線所成角）
斜線與平面成角）
直線與平面所成角）
（向量與向量所成角
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
是異面直線，則過外一點p，過點p且與都平行平面有乙個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內. （或在這個做出的平面內不能叫與平行的平面）
三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.
1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內.
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行.（「線線平行，線面平行」）
[注]：①直線與平面內一條直線平行，則∥. （×）（平面外一條直線）
②直線與平面內一條直線相交，則與平面相交. （×）（平面外一條直線）
③若直線與平面平行，則內必存在無數條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行於乙個平面，那麼另一條也平行於這個平面. （×）（可能在此平面內）
⑤平行於同一直線的兩個平面平行.（×）（兩個平面可能相交）
⑥平行於同乙個平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（×）（、可能相交）
3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行.（「線面平行，線線平行」）
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和乙個平面垂直，過一點有且只有乙個平面和一條直線垂直.
● 若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），
得不出⊥. 因為⊥，但不垂直oa.
● 三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這兩條直線垂直於這個平面.（「線線垂直，線面垂直」）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於這個平面.
推論：如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行.
[注]：①垂直於同一平面的兩個平面平行.（×）（可能相交，垂直於同一條直線的兩個平面平行）
②垂直於同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直於平行的乙個平面，必垂直於另乙個平面）
③垂直於同一平面的兩條直線平行.（√）
5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.
[注]：垂線在平面的射影為乙個點. [一條直線在平面內的射影是一條直線.（×）]
⑵射影定理推論：如果乙個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那麼這點在平面內的射影在這個角的平分線上
四、 平面平行與平面垂直.
1. 空間兩個平面的位置關係：相交、平行.
2. 平面平行判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，哪麼這兩個平面平行.（「線面平行，面面平行」）
推論：垂直於同一條直線的兩個平面互相平行；平行於同一平面的兩個平面平行.
[注]：一平面間的任一直線平行於另一平面.
3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那麼它們交線平行.（「面面平行，線線平行」）
4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.
兩個平面垂直性質判定二：如果乙個平面與一條直線垂直，那麼經過這條直線的平面垂直於這個平面.（「線面垂直，面面垂直」）
注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什麼關係.
5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線也垂直於另乙個平面.
推論：如果兩個相交平面都垂直於第三平面，則它們交線垂直於第三平面.
證明：如圖，找o作oa、ob分別垂直於，
因為則.
6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）
7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）
⑵最小角定理的應用（∠pbn為最小角）
簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.
五、 稜錐、稜柱.
1. 稜柱.
⑴①直稜柱側面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直稜柱的側面展開圖為矩形得出的.
②斜稜住側面積：（是斜稜柱直截面周長，是斜稜柱的側稜長）該公式是利用斜稜柱的側面展開圖為平行四邊形得出的.
⑵.=.
⑶稜柱具有的性質：
①稜柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側稜都相等；直稜柱的各個側面都是矩形；正稜柱的各個側面都是全等的矩形.
②稜柱的兩個底面與平行於底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.
③過稜柱不相鄰的兩條側稜的截面都是平行四邊形.
注：①稜柱有乙個側面和底面的一條邊垂直可推測是直稜柱. （×）
（直稜柱不能保證底面是巨形可如圖）
②（直稜柱定義）稜柱有一條側稜和底面垂直.
⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交於一點，並且在交點處互相平分.
[注]：四稜柱的對角線不一定相交於一點.
定理二：長方體的一條對角線長的平方等於乙個頂點上三條稜長的平方和.
推論一：長方體一條對角線與同乙個頂點的三條稜所成的角為，則.
推論二：長方體一條對角線與同乙個頂點的三各側面所成的角為，則.
[注]：①有兩個側面是矩形的稜柱是直稜柱.（×）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）
②各側面都是正方形的稜柱一定是正稜柱.（×）（應是各側面都是正方形的直稜柱才行）
③對角面都是全等的矩形的直四稜柱一定是長方體.（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
④稜柱成為直稜柱的乙個必要不充分條件是稜柱有一條側稜與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）
2. 稜錐：稜錐是乙個面為多邊形，其餘各面是有乙個公共頂點的三角形.
[注]：①乙個稜錐可以四各面都為直角三角形.
②乙個稜柱可以分成等體積的三個三稜錐；所以.
⑴①正稜錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.
[注]：i. 正四稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各稜相等，而正三稜錐是底面為正△側稜與底稜不一定相等
iii. 正稜錐定義的推論：若乙個稜錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側稜相等）；底面為正多邊形.
②正稜錐的側面積：（底面周長為，斜高為）
③稜錐的側面積與底面積的射影公式：（側面與底面成的二面角為）
附以知⊥，，為二面角.
則①，②，③ ①②③得.
注：s為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.
⑵稜錐具有的性質：
①正稜錐各側稜相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正稜錐的斜高）.
②正稜錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成乙個直角三角形，正稜錐的高、側稜、側稜在底面內的射影也組成乙個直角三角形.
⑶特殊稜錐的頂點在底面的射影位置：
①稜錐的側稜長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
②稜錐的側稜與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.
③稜錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
④稜錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心.
⑤三稜錐有兩組對稜垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.
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