harbin institute of technology
上機報告
課程名稱： 小波理論與應用
院系： 電信學院
班級： 13碩小波1班
學生： 位飛13s105006 誠意21
鄒賽13s005016 誠意12
高德奇13s005023誠意12
姜希12s005106 誠意11
指導教師： 李福利
時間： 2014-06-09
哈爾濱工業大學
位飛13s105006 電信學院電子與通訊工程電子2班小波1班完成上機報告（一）
鄒賽13s005016電信學院資訊與通訊工程電子2班小波1班完成上機報告（二）（三）
高德奇13s005023電信學院資訊與通訊工程電子1班小波1班完成上機報告（四）
姜希12s005106電信學院資訊與通訊工程電子2班小波1班整理
已知butterworth濾波器，其衝擊響應函式為，求：
1、 求
2、 判斷是否因果；是低通、高通、帶通還是帶阻？
3、 對於訊號，畫出圖形
4、 畫出濾波後圖形，比較濾波前後圖形，你會發現什麼，這裡取
5、 取採用不同的變數值，畫出原訊號圖形與濾波後圖形，比較濾波效果
從0～f2 頻率之間，幅頻特性平直，它可以使訊號中低於f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高於f2的頻率成分受到極大地衰減。
與低通濾波相反，從頻率f1～∞，其幅頻特性平直。它使訊號中高於f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低於f1的頻率成分將受到極大地衰減。
它的通頻帶在f1～f2之間。它使訊號中高於f1而低於f2的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。
與帶通濾波相反，阻帶在頻率f1～f2之間。它使訊號中高於f1而低於f2的頻率成分受到衰減，其餘頻率成分的訊號幾乎不受衰減地通過。
由上圖可知當t<0,h（t）=0, 該濾波器為因果,由h（w）圖知，該濾波器為帶通濾波器。
f(t)訊號經過butterworth濾波器之後，低頻分量和高頻分量消失。
原訊號圖形
a=a=1的濾波圖
a=a=5的濾波圖
a=a=10的濾波圖
a=a=15的濾波圖
由以上圖分析f(t)訊號經過不同a、a值的butterworth濾波器之後，低頻分量和高頻分量消失量不同。
%% 課後作業 1 buttlerworth濾波器
% by weifei
% 2014/06/07
clc;
clear all;
a = 10;
a = 10;
t = 0:0.01:pi;
h = a*exp(-a*t);
h = abs(fftshift(fft(h)));
f3 = exp(-t/3).*(sin(2*t)+2*sin(4*t)+0.4*sin(2*t).*sin(40*t));%(3) 式f(t)
f_3 = conv(f3,h);
f5 = exp(-t).*(sin(5*t)+sin(3*t)+sin(t)+sin(40*t));%(3) 式f(t)
f_5 = conv(f5,h);
實驗題目：畫出db2小波的函式圖形。
實驗目的：學習採用數值分析的方法解小波的雙尺度方程。
相關知識複習：對於雙尺度差分方程滿足如下的等式關係：
根據書本的的理論知識，對於滿足daubechies要求的，n=0,1…n-1，可知的解是存在，且他的支撐域，則可以通過數值迭代方法，用求得無限小離散區間上的值去逼近。
實驗過程：
1：迭代方式介紹
由於是在之外，的值為零，則可以令t=0,1，…n-1，則可以得到線性方程組：
由於，聯立上述的兩個方程可以求得的值。再由雙尺度差分方程，可以求得的值，重複上述的迭代過程，就可以求得的值。如果我們取的m足夠大，理論上是可以求得在任何點點處的值。
對於db2小波，n-1=3，。並且可以根據上面的迭代公式算出整數的初始值為：，，。
求出了db2小波的尺度函式後，db2的小波函式就可以根據如下公式求出：
其中，即，，，。
2：實驗**註解
n=15;%整個區間的中每兩個點的間隔為
c=[(1+sqrt(3))/4,(3+sqrt(3))/4,(3-sqrt(3))/4,(1-sqrt(3))/4];%係數
result=zeros(1,3*2^n+1);%用於存放的結果
result(1+0*2^n)=0;%整數點0處的賦值
result(1+1*2^n)=(1+sqrt(3))/2; %整數點1處的賦值
result(1+2*2^n)=(1-sqrt(3))/2; %整數點2處的賦值
result(1+3*2^n)=0; %整數點3處的賦值
for n=1:1:n共分為n層
start=2^(n-n)+1;%每一層對應在result中的存放位置
num=3*2^(n-1);%每一層的點的數目
interval=2^(n-n+1);%每一層點在result中存放的間隔
for ii=0:1:num-1%計算該層中每乙個點對應的值
k=(ii*2+1)/2^n;%計算該層數時對應的所對應的點的位置
uu=zeros(4,1);%用於存放計算該處值所要與相乘的數值
for q=0:1:3
if (2*k-q)*2^n+1<1||(2*k-q)*2^n+1>3*2^n+1
uu(q+1,1)=0;
else
uu(q+1,1)=result(ceil((2*k-q)*2^n+1));
end end
result(ii*interval+start)=c*uu;%存放計算得到的結果
endend sum=0;
for p=1:3*2^n+1
sum=result(p)+sum;
end sum=sum/2^n%近似的計算出該小波函式的積分值
x=linspace(0,3,3*2^n+1);
plot(x,result);%畫出函式圖形
persai=zeros(1,3*2^n*2+1);%小波資料存放區域
%計算小波函式在對應點上的值
persai(1:3*2^n+1)=(1-sqrt(3))/4*result;%[-1,0.5]*g-2
persai(2^n+1:4*2^n+1)=-(3-sqrt(3))/4*result+persai(2^n+1:4*2^n+1);%[-0.5,1]*g-1
persai(2*2^n+1:5*2^n+1)=(3+sqrt(3))/4*result+persai(2*2^n+1:5*2^n+1);%[0,1.5]*g0
persai(3*2^n+1:6*2^n+1)=-(1+sqrt(3))/4*result+persai(3*2^n+1:6*2^n+1);%[0.5,2]*g1
figure
x=linspace(-1,2,2*3*2^n+1);%小波函式的座標
plot(x,persai);%畫出小波函式
sum=0;
for p=1:2*3*2^n+1
sum=persai(p)+sum;
end sum=sum/2^(n+1)%計算小波函式的積分，驗證是否為0
實驗結果與分析：如圖1所示是db2小波的時域圖形，在取樣間隔時，我們計算出的db2小波的積分為0.999999999999989，這和積分1誤差相比是非常小的。
同時該演算法的乙個特點是：對於每一次的迭**論上都是採用上一次的其他位置點的準確數值而非逼近數值，所以誤差小，不需要反覆迭代，可以快速的算出任意點處小波尺度函式的數值。
圖1 db2小波函式雙尺度方程的解函式
圖2 db2小波函式圖
圖2是db2小波的函式圖形，可以看出他的支撐域是[-1,2]，對其做簡單的數值積分，可以得到積分值為1.163425707396464e-16，這是非常接近0，與理論相符。
實驗題目：用db2小波尋找函式的間斷點。
實驗目的：學會對一維訊號進行離散形式的小波變化。
實驗目的原理：小波變換優於傅利葉變換的地方就在於，小波變換能夠同時在時域和頻域突出訊號的區域性特徵。幾乎所有的訊號都能根據從原始資料中提取出來的某些特徵來表現訊號。
提取訊號的特徵要根據訊號本身的特點和使用者的目的來決定，但是一些具有共性的特點，比如訊號的過零點、極值點、斷點和訊號突變的地方往往是包含資訊最多的地方，也是分析的重點。
訊號的奇異點能夠通過對訊號進行小波變換後再不同的尺度上綜合表現，來反映訊號的突變或者瞬間特徵，如訊號的瞬變或者邊緣的不同表現：過渡得比較陡峭或者平穩，在小波多尺度變換上就表現為最大值的變換情況。下面討論小波變換用於突變訊號檢測的基本原理。
設是函式和的卷積，即：
（1）根據卷積的性質可以得到：
（2）將函式看做訊號，看做是濾波器，那麼訊號倒數域濾波器的卷積結果可以看成是濾波器的倒數域與訊號的卷積。因此小波變換的突變點和極值點與訊號的突變點和極值點具有對應關係，利用小波變換可以檢測突變訊號。
實驗過程：
1：實驗訊號與小波的選取
本次實驗中我們需要檢測斷點的訊號如下式所示：
檢測斷點所採用的小波函式是db2小波，用該小波函式的雙尺度係數h作為低通濾波器，小波係數g作為高通濾波器，對的取樣點進行濾波。
2：實驗**註解
clc;
clear;
n=256;%取樣點數
t=linspace(-1,4,n);
ft=zeros(1,n);%存放函式的取樣值
for i=1:n%根據函式分段式子，計算出函式
if t(i)<=2.8
ft(i)=0.37*t(i)+1.37;
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