第一章演算法初步
1.1.1 演算法的概念
1、演算法概念：
2. 演算法的特點:
(1)有限性： (2)確定性： (3)順序性與正確性： (4)不唯一性： (5)普遍性： 程式框圖
1、程式框圖基本概念：
（一）程式構圖的概念：程式框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示演算法的圖形。
乙個程式框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程式框；帶箭頭的流程線；程式框外必要文字說明。
（二）構成程式框的圖形符號及其作用
學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程式框圖的規則如下：
（三）、演算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、迴圈結構。
1、順序結構：順序結構是最簡單的演算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何乙個演算法都離不開的一種基本演算法結構。
順序結構在程式框圖中的體現就是用流程線將程式框自上而
下地連線起來，按順序執行演算法步驟。如在示意圖中，a框和b
框是依次執行的，只有在執行完a框指定的操作後，才能接著執
行b框所指定的操作。
2、條件結構：
條件結構是指在演算法中通過對條件的判斷
根據條件是否成立而選擇不同流向的演算法結構。
條件p是否成立而選擇執行a框或b框。無論p條件是否成立，只能執行a框或b框之一，不可能同時執行a框和b框，也不可能a框、b框都不執行。乙個判斷結構可以有多個判斷框。
3、迴圈結構：在一些演算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反覆執行某一處理步驟的情況，這就是迴圈結構，反覆執行的處理步驟為迴圈體，顯然，迴圈結構中一定包含條件結構。迴圈結構又稱重複結構，迴圈結構可細分為兩類：
（1）、一類是當型迴圈結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件p成立時，執行a框，a框執行完畢後，再判斷條件p是否成立，如果仍然成立，再執行a框，如此反覆執行a框，直到某一次條件p不成立為止，此時不再執行a框，離開迴圈結構。
（2）、另一類是直到型迴圈結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然後判斷給定的條件p是否成立，如果p仍然不成立，則繼續執行a框，直到某一次給定的條件p成立為止，此時不再執行a框，離開迴圈結構。
當型迴圈結構直到型迴圈結構
注意：1迴圈結構要在某個條件下終止迴圈，這就需要條件結構來判斷。因此，迴圈結構中一定包含條件結構，但不允許「死迴圈」。
2在迴圈結構中都有乙個計數變數和累加變數。計數變數用於記錄迴圈次數，累加變數用於輸出結果。計數變數和累加變數一般是同步執行的，累加一次，計數一次。
1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句
1、輸入語句
（1）輸入語句的一般格式
（2）輸入語句的作用是實現演算法的輸入資訊功能；（3）「提示內容」提示使用者輸入什麼樣的資訊，變數是指程式在執行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數，不能是函式、變數或表示式；（5）提示內容與變數之間用分號「；」隔開，若輸入多個變數，變數與變數之間用逗號「，」隔開。
2、輸出語句
（1）輸出語句的一般格式
（2）輸出語句的作用是實現演算法的輸出結果功能；（3）「提示內容」提示使用者輸入什麼樣的資訊，表示式是指程式要輸出的資料；（4）輸出語句可以輸出常量、變數或表示式的值以及字元。
3、賦值語句
（1）賦值語句的一般格式
（2）賦值語句的作用是將表示式所代表的值賦給變數；（3）賦值語句中的「＝」稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表示式的值賦給賦值號左邊的變數；（4）賦值語句左邊只能是變數名字，而不是表示式，右邊表示式可以是乙個資料、常量或算式；（5）對於乙個變數可以多次賦值。
注意：①賦值號左邊只能是變數名字，而不能是表示式。如：
2=x是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如「a=b」「b=a」的含義執行結果是不同的。
③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號「=」與數學中的等號意義不同。
1．2．2條件語句
1、條件語句的一般格式有兩種：（1）if—then—else語句；（2）if—then語句。2、if—then—else語句
if—then—else語句的一般格式為圖1，對應的程式框圖為圖2。
圖1圖2
分析：在if—then—else語句中，「條件」表示判斷的條件，「語句1」表示滿足條件時執行的操作內容；「語句2」表示不滿足條件時執行的操作內容；end if表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對if後的條件進行判斷，如果條件符合，則執行then後面的語句1；若條件不符合，則執行else後面的語句2。
3、if—then語句
if—then語句的一般格式為圖3，對應的程式框圖為圖4。
注意：「條件」表示判斷的條件；「語句」表示滿足條件時執行的操作內容，條件不滿足時，結束程式；end if表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對if後的條件進行判斷，如果條件符合就執行then後邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。
1．2．3迴圈語句
迴圈結構是由迴圈語句來實現的。對應於程式框圖中的兩種迴圈結構，一般程式語言中也有當型（while型）和直到型（until型）兩種語句結構。即while語句和until語句。
1、while語句
（1）while語句的一般格式是對應的程式框圖是
（2）當計算機遇到while語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行while與wend之間的迴圈體；然後再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行迴圈體，這個過程反覆進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行迴圈體，直接跳到wend語句後，接著執行wend之後的語句。因此，當型迴圈有時也稱為「前測試型」迴圈。
2、until語句
（1）until語句的一般格式是對應的程式框圖是
（2）直到型迴圈又稱為「後測試型」迴圈，從until型迴圈結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次迴圈體，然後進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行迴圈體，然後再進行條件的判斷，這個過程反覆進行，直到某一次條件滿足時，不再執行迴圈體，跳到loop until語句後執行其他語句，是先執行迴圈體後進行條件判斷的迴圈語句。
分析：當型迴圈與直到型迴圈的區別：（先由學生討論再歸納）
（1） 當型迴圈先判斷後執行，直到型迴圈先執行後判斷；
在while語句中，是當條件滿足時執行迴圈體，在until語句中，是當條件不滿足時執行迴圈
1.3.1輾轉相除法與更相減損術
1、輾轉相除法。也叫歐幾里德演算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：
（1）：用較大的數m除以較小的數n得到乙個商和乙個餘數；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以餘數得到乙個商和乙個餘數；（3）：
若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以餘數得到乙個商和乙個餘數依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。
2、更相減損術
我國早期也有求最大公約數問題的演算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。
翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。
若是，用2約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，並以大數減小數。
繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
例2 用更相減損術求98與63的最大公約數.
分析：（略）
3、輾轉相除法與更相減損術的區別：
（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。
（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除餘數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到
1.3.2秦九韶演算法與排序
1、秦九韶演算法概念：
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….
+a2)x+a1)x+a0
anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1
然後由內向外逐層計算一次多項式的值，即
v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0
這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。
1.3.3進製
1、概念：進製是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進製，簡稱n進製。
現在最常用的是十進位制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對於任何乙個數，我們可以用不同的進製來表示。比如：
十進數57，可以用二進位制表示為111001，也可以用八進位制表示為71、用十六進製制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。
高中數學必修4知識點總結
1.對於集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的 確定性 互異性 無序性 中元素各表示什麼？注重借助於數軸和文氏 集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3.注意下列性質 4.你會用補集思想解決問題嗎？排除法 間接法 的取值範圍。7.對對映的概念了解嗎？對映f a b，是否注意到a中...
高中數學必修5知識點總結
1 正弦定理 在中，分別為角 的對邊，為的外接圓的半徑，則有 2 正弦定理的變形公式 3 三角形面積公式 4 餘弦定理 在中，有，5 餘弦定理的推論 6 設 是的角 的對邊，則 若，則 若，則 若，則 7 數列 按照一定順序排列著的一列數 8 數列的項 數列中的每乙個數 9 有窮數列 項數有限的數列...
高中數學必修1知識點總結
第一章集合與函式概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語...