2012 年碩士研究生入學統一考試
數學考試大綱
數學二考試科目：高等數學、線性代數
考試形式和試卷結構
一、試卷滿分及考試時間
試卷滿分為150 分，考試時間為180 分鐘．
二、答題方式
答題方式為閉卷、筆試．
三、試卷內容結構
高等教學約78％
線性代數約22%
四、試卷題型結構
試卷題型結構為：
單項選擇題 8 小題，每小題4 分，共32 分
填空題 6 小題，每小題4 分，共24 分
解答題（包括證明題） 9 小題，共94 分
高等數學
一、函式、極限、連續
考試內容
函式的概念及表示法函式的有界性、單調性、週期性和奇偶性復合函式、反函式、
分段函式和隱函式基本初等函式的性質及其圖形初等函式函式關係的建立
數列極限與函式極限的定義及其性質函式的左極限與右極限無窮小量和無窮大量
的概念及其關係無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個
準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：
函式連續的概念函式間斷點的型別初等函式的連續性閉區間上連續函式的性質
考試要求
1．理解函式的概念，掌握函式的表示法，並會建立應用問題的函式關係．
2．了解函式的有界性、單調性、週期性和奇偶性．
3．理解復合函式及分段函式的概念，了解反函式及隱函式的概念．
4．掌握基本初等函式的性質及其圖形，了解初等函式的概念．
5．理解極限的概念，理解函式左極限與右極限的概念以及函式極限存在與左極限、右
極限之間的關係．
6．掌握極限的性質及四則運算法則．
7．掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的
方法．8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求
極限．9．理解函式連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函式間斷點的型別．
10．了解連續函式的性質和初等函式的連續性，理解閉區間上連續函式的性質（有界性、
最大值和最小值定理、介值定理），並會應用這些性質．
二、一元函式微分學
考試內容
導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函式的可導性與連續性之間的關係
平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函式的導數復合函式、反函
數、隱函式以及引數方程所確定的函式的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分
中值定理洛必達（l'hospital）法則函式單調性的判別函式的極值函式圖形的凹凸
性、拐點及漸近線函式圖形的描繪函式的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率
圓與曲率半徑
考試要求
1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面
曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函式的
可導性與連續性之間的關係．
2．掌握導數的四則運算法則和復合函式的求導法則，掌握基本初等函式的導數公式．了
解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函式的微分．
3．了解高階導數的概念，會求簡單函式的高階導數．
4．會求分段函式的導數，會求隱函式和由引數方程所確定的函式以及反函式的導數．
5．理解並會用羅爾（rolle）定理、拉格朗日（lagrange）中值定理和泰勒（taylor）定
理，了解並會用柯西( cauchy ）中值定理．
6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．
7．理解函式的極值概念，掌握用導數判斷函式的單調性和求函式極值的方法，掌握函
數最大值和最小值的求法及其應用．
8．會用導數判斷函式圖形的凹凸性（注：在區間(a,b)內，設函式f (x)具有二階導數．當
f″(x) > 0時， f (x)的圖形是凹的；當f″(x) < 0時， f (x)的圖形是凸的），會求函式圖形
的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函式的圖形．
9．了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．
三、一元函式積分學
考試內容
原函式和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基
本性質定積分中值定理積分上限的函式及其導數牛頓-萊布尼茨(newton-leibniz)公式
不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函式、三角函式的有理式和簡單無理函
數的積分反常（廣義）積分定積分的應用
考試要求
1．理解原函式的概念，理解不定積分和定積分的概念．
2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握
換元積分法與分部積分法．
3．會求有理函式、三角函式有理式和簡單無理函式的積分．
4．理解積分上限的函式，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式．
5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．
6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、
旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）
及函式的平均值．
四、多元函式微積分學
考試內容
多元函式的概念二元函式的幾何意義二元函式的極限與連續的概念有界閉區域
上二元連續函式的性質多元函式的偏導數和全微分多元復合函式、隱函式的求導法二
階偏導數多元函式的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計
算考試要求
1．了解多元函式的概念，了解二元函式的幾何意義．
2．了解二元函式的極限與連續的概念，了解有界閉區域上二元連續函式的性質．
3．了解多元函式偏導數與全微分的概念，會求多元復合函式一階、二階偏導數，會求
全微分，了解隱函式存在定理，會求多元隱函式的偏導數．
4．了解多元函式極值和條件極值的概念，掌握多元函式極值存在的必要條件，了解二
元函式極值存在的充分條件，會求二元函式的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求
簡單多元函式的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題．
5．了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法（直角座標、極座標）．
五、常微分方程
考試內容
常微分方程的基本概念變數可分離的微分方程齊次微分方程一階線性微分方程
可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質及解的結構定理二階常係數齊次線性微
分方程高於二階的某些常係數齊次線性微分方程簡單的二階常係數非齊次線性微分方
程微分方程的簡單應用
考試要求
1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．
2．掌握變數可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程．
3．會用降階法解下列形式的微分方程：y(n) = f (x), y″= f (x, y′) 和 y″= f ( y, y′)．
4．理解二階線性微分方程解的性質及解的結構定理．
5．掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性
微分方程．
6．會解自由項為多項式、指數函式、正弦函式、余弦函式以及它們的和與積的二階常
係數非齊次線性微分方程．
7．會用微分方程解決一些簡單的應用問題．
線性代數
一、行列式
考試內容
行列式的概念和基本性質行列式按行（列）展開定理
考試要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質．
2．會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式．
二、矩陣
考試內容
矩陣的概念矩陣的線性運算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的
轉置逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初
等矩陣矩陣的秩矩陣的等價分塊矩陣及其運算
考試要求
1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反
對稱矩陣和正交矩陣以及它們的性質．
2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積
的行列式的性質．
3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件．理解伴隨矩
陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．
4．了解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩
的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．
5．了解分塊矩陣及其運算．
三、向量
考試內容
向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的
極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關係向量的
內積線性無關向量組的的正交規範化方法
考試要求
1．理解n 維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．
2．理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性
質及判別法．
3．了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組
及秩．4．了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩的關係．
5．了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規範化的施密特（schmidt）方法．
四、線性方程組
考試內容
線性方程組的克萊姆（cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊
次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的
基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解
考試要求
1．會用克萊姆法則．
2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要
條件．3．理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通
解的求法．
4．理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念．
5．會用初等行變換求解線性方程組．
五、矩陣的特徵值及特徵向量
考試內容
矩陣的特徵值和特徵向量的概念、性質相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的
充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及其相似對角矩陣
考試要求
1．理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣特徵值和特徵向量．
2．理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相
似對角矩陣．
3．理解實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質．
六、二次型
考試內容
二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標準形和
規範形用正交變換和配方法化二次型為標準形二次型及其矩陣的正定性
考試要求
1．了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念．
2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規範形等概念，了解慣性定理，會
用正交變換和配方法化二次型為標準形．
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34.葦莖在千金葦莖湯中的主要 作用是 a.清肺洩熱b.生津止渴c.化瘀排膿d.潤肺排痰e.利濕消癰 35.肝鬱血虛，脾失健運。見兩脅作痛，神疲食少，脈虛弦者，治宜選用 a.一貫煎b.越鞠丸c.逍遙散d.四逆散e.以上都不適宜 36.身熱多汗，心胸煩悶，氣逆欲嘔，體倦口幹，舌紅少苔，脈象虛數者，治宜...
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