原碼、反碼、補碼、「溫故而知新」
以前好像數位電路裡當基礎知識學過，一直到後來學微控制器都用到，現在在自學dsp的過程中，又遇到這個最基礎的問題。一扯到2進製我就發暈，總是覺得不那麼習慣。現在作了個總結，希望以後再不會在這個問題上感到困惑。
1綜述：
數在計算機中是以二進位制形式表示的。有兩種辦法表示實數：
一種是定點，就是小數點位置是固定的。一般都預設小數點在最後一位數的右方，表示整數。
一種是浮點，就是小數點位置不固定。浮點數採用底數+尾數的格式，其實就是所說的科學記數法。小數點在底數的最左面，尾數表示實際應將小數點向左(尾數為+)或向右(-)移動的位數。
數又分為有符號數和無符號數。
原碼、反碼、補碼都是有符號定點數的表示方法。
有符號數的最高位為符號位，0是正，1是負。
2 原碼、反碼、補碼
原碼就是這個數本身的二進位制形式。如：00000001 就是+1 10000001 就是-1。
反碼表示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。
補碼表示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。
例子：+1011
原碼：01011
反碼：01011 //正數時，反碼＝原碼
補碼：01011 //正數時，補碼＝原碼
-1011
原碼：11011
反碼：10100 //負數時，反碼為原碼取反
補碼：10101 //負數時，補碼為原碼取反＋1
+0．1101
原碼：0.1101
反碼：0.1101 //正數時，反碼＝原碼
補碼：0.1101 //正數時，補碼＝原碼
-0．1101
原碼：1.1101
反碼：1.0010 //負數時，反碼為原碼取反
補碼：1.0011 //負數時，補碼為原碼取反＋1
3關於0的問題：
數0的原碼有兩種形式： [+0]原=00000000b [-0]原=10000000b
數0的反碼有兩種形式： [+0]反=00000000b [-0]反=11111111b
數0的補碼是唯一的 ： [+0]補=[-0]補=00000000b
假設機器能處理的位數為8.即字長為1byte,
原碼和反碼能表示數值的範圍為：
(-127~-0 +0~127)共256個，其中都有兩個0
在補碼中用(-128)代替了(-0),所以補碼的表示範圍為:
(-128~0~127)共256個，負數128個，0和正數128個。
注：其中(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000)
圖中可以直觀的看出補碼的規律
4下面是原碼、反碼進行運算時遇到的問題（0的問題）：
有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算.但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,
如下: 假設字長為8bits
( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.
因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上,對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼.反
碼的取值空間和原碼相同且一一對應. 下面是反碼的減法運算:
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題.
( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確
這個問題出現在(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。所以有兩個表示的0不適合計算機的運算。
在補碼中用(-128)代替了(-0)，統一正0和負0
補碼的加減運算如下:
( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確
5補碼記數法中的運算規則
補碼中符號位要與有效值部分一起進行運算。
兩個用補碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進製，則進製被捨棄。
例如：加0111和1011結果是0010（0111+1011=10010，捨去最左邊的1，結果為0010，長度保持4位）
採用2的補碼記數法的機器需要知道的只是如何去加和求反就夠了。
[x＋y]補= [x]補＋ [y]補
[x－y]補= [x]補＋ [－y]補
若已知[y]補，求[－y]補的方法是：將[y]補的各位（包括符號位）逐位取反再在最低位加1即可。例如：[y]補= 101101 [－y]補= 010011
例如，減法問題7-5與加法問題7+（-5）是相同的。
因此，如果機器被請求從7（儲存為0111）中減5（儲存為0101），它首先將5改變為-5（表示為1011），
然後執行0111+1011的加法過程取得0010，它表示2。
7補碼與原碼的相互轉換過程是相同的。
已知乙個數的補碼，求原碼的方法是：
（1）如果補碼的符號位為「0」，表示是乙個正數，所以補碼就是該數的原碼。
（2）如果補碼的符號位為「1」，表示是乙個負數，求原碼的操作是：符號位為1，其餘各位取反，然後再末位加1。
例如，已知乙個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因為符號位為「1」，表示是乙個負數，所以該位不變，仍為「1」；其餘7位
1111001取反後為0000110；再加1，所以是10000111。
所以，求補碼的運算可以使原碼和補碼互相轉換。乙個原碼的補碼的補碼還是他本身。
8總結所以補碼的意義就在於：
（1）補碼統一正0和負0
（2）補碼中符號位要與有效值部分一起進行運算。
（3）使減法運算轉換為加法運算。 [a-b]補=[a]補+[-b]補
附錄：補碼的身世——「模」的概念：
「模」是指乙個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也可以看成乙個計量機器，它也有乙個計量範圍，即都存在乙個「模」。例如：
時鐘的計量範圍是0～11，模=12。
表示n位的計算機計量範圍是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指數】
「模」實質上是計量器產生「溢位」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數。任何有模的計量器，均可化減法為
加法運算。
例如： 假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：
一種是倒撥4小時，即：10-4=6
另一種是順撥8小時：10+8=12+6=6
在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。
對「模」而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特點是兩者相加等於模。
對於計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，
最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進位制系統的模為2(8)。 在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的
補數表示就可以了。
把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。
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