我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.
我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式（包括**、電子郵件、網上諮詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。
我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。
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日期： 2012 年 8 月 18 日
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2010高教社杯全國大學生數學建模競賽
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疾病診斷問題
摘要隨著就醫壓力增加，在降低誤診率的前提下提高診斷效率是非常重要的，本文利用確診樣本資料建立判別模型，並利用模型篩選出主要元素，對就診人員進行診斷。
針對問題（1），利用確診資料建立fisher判別模型、logistic回歸模型和bp神經網路模型，運用matlab、spss求解，定出判別標準，並進行顯著性檢驗和回代檢驗，判別模型的準確率。結果顯示fisher判別模型的準確率為93.3%，logistic回歸模型和bp神經網路模型準確率均為100%，logistic回歸模型相對簡便。
針對問題（2），選擇問題一中檢驗準確率為100%的logistic回歸模型和bp神經網路模型對40名就診人員進行診斷，結果如下表：
針對問題（3），建立logistic逐步回歸模型對元素進行篩選，利用spss軟體求解，確定ca和fe是影響人們患這種病的主要因素，因此在建立診斷模型時，其他元素不作為參考指標。
針對問題（4），篩選出主要影響因素後，將ca和fe作為指標建立logistic回歸模型和bp神經網路模型，發現兩個模型的診斷結果一致，如下：
針對問題（5），對比問題二和問題四結果，發現無關元素會影響模型進行診斷的準確率。
關鍵詞 fisher判別模型 logistic回歸模型 bp神經網路模型逐步回歸模型
一、 問題重述
人們到醫院就診的時候，通常通過化驗一些指標來協助醫生診斷。醫生根據化驗所得的元素含量，利用某種指標，判斷病人是否患病。本題給出了附錄1（確診人數），和附錄2（待診人數），其中附錄一中1至30號是確定患病的病人，而31至60號是沒有患病的健康人，要求回答以下問題：
（1）、根據附件1中的資料，提出一種或多種簡便的方法，判斷屬於患病者或健康人的方法，並檢驗你提出方法的正確性。
（2）、按照（1）提出的方法，對附件2中的40名就診人員的化驗結果進行判定他（她）是患病者還是健康人。
（3）、能否根據附件1的資料特徵，確定哪些指標是影響人們患這種病的關鍵或主要因素，一邊減少化驗的指標。
（4）、根據（3）的結果，對附件2中的40名就診人員的化驗結果進行判別，判定他（她）們是患病者還是健康人。
（5）、對（2）和（4）的結果作進一步分析。
二、問題分析
隨著就醫壓力增大，簡便的醫學化驗標準和方法可以大大提高醫生診斷的效率。依據已確診的病例資料特徵，對就診病例進行分類，協助醫生做出準確的醫療判斷。
針對問題（1），要求利用附錄1已確診的病例資料找出一種或多種簡便的方法，判斷就診人員患病與否。依據附錄1中60位已確診病例，可從患病者與健康者體內的7種元素含量入手，即分析確診人員的體內元素含量和患病與否的關係。因此，可構造各種判別分析法，同時對其進行檢驗，再利用已知資料回代，分別計算不同判別方法的準確率並進行比較。
針對問題（2），基於問題（1），可選擇準確率最高的判定方法對附錄2的就診人員進行病例判診，診斷出就診人員是否健康。
針對問題（3），問題二中兩個準確的模型出現不同結果，所以可以確定存在干擾因素，利用logistic逐步回歸模型確定主要影響元素，提高診斷的準確率與速度。
針對問題（4），排除無關元素，利用問題（1）中確定的模型重新建立診斷函式，對40名就診人員重新進行診斷。
針對問題（5），通過比較問題（2）和問題(4)元素和結果的改變，分析影響診斷結果的因素是什麼。
三、模型假設
（1）假設檢測資料準確無誤。
（2）假設確診人員中沒有誤診的情況出現。
四、符號說明
五、模型的建立與求解
5.1 問題一的求解
依據檢查結果，對就診人員進行健康與否診斷的方法有多種，根據已知限制條件，本文選擇其中三種判別分析模型：fisher判別模型、二類logistic回歸判別模型以及bp神經網路模型。同時，為了檢驗三種判別分析模型的準確率，我們引入乙個變數p為準確率。
5.1.1 fisher判別模型
5.1.1.1 fisher判別模型的建立與求解
將患病和健康為兩個總體：、，並且都以體內檢測的7個元素作為其集合元素。fisher判別主要借助方差分析的思想，利用投影，將這兩個總體投影到乙個方向，建立線性判別函式，並利用判別規則，通過計算後得出檢查結果屬於或。
（1）確定原始資料矩陣
以各元素為列向量，以就診人員為行向量，構造關於病患和健康者的兩個矩陣。
的資料矩陣為：
的資料矩陣為：
（2）計算兩組各元素資料的平均值。矩陣,的列平均數分布為：
=（143.10,12.33，23.07,698.17,201.13,526.83）
=（186.6,21.92,62.01,2511.13,298.14,90.37,367.21）
（3）利用微分學的方法，計算係數， =1,2,3,4,5,6,7
要體現出分組的兩個特徵：、組間差距越大越好；、組內差距越小越好。可得出以下公式：
對其求偏導，得出=。
（4）確定判別函式
（5）計算、代表的判別值
得出判別值為：
（6）上述計算過程，可由matlab程式設計實現，**見附錄
得出結果如下：
因此，在本題中》，當y>時，y的樣本屬於，即樣本屬於患病者。反之樣本屬於，即樣本屬於健康者。
5.1.1.2 fisher判別法的檢驗
利用f檢驗，設顯著性水平=0.05.計算統計量如下：
f=14.7
（7,52）（7,50）=2.20
因此，f> (7,50)> (7,52).
說明判別函式是有效的，從而可以用來做判別。
5.1.1.3 fisher判別回代檢驗
將已確診樣本資料回代判定函式，得出患病者檢驗值表5.1.1-1（見附錄表5.1.1-1）和健康者檢驗值如表5.1.1-2：
表5.1.1-2：健康者檢驗值
由表5.1.1-1和表5.
1.1-2可知，患病者檢驗準確，而健康者被誤診為患病的個案有4個，分別為就診人員32、38、39和60，它們都大於0.0811。
因此，fisher判別模型的準確率為：
==93.333%.
5.1.2 bp神經網路
由定理得出，以雙曲線正切函式為啟用函式的三層bp神經網路，可以以任意精度逼近任意連續函式。並且，有導師學習的bp神經網路實質是在對學習樣本進行學習的過程中，利用梯度下降法，不斷反饋修改權值，直到網路輸出與期望值的誤差小於給定標準，結束學習訓練，並固定聯結權值，輸入待測樣本就可給出適當的輸出。因此，bp網路對於解決判別就診人員健康與否的問題非常實用、有效。
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