MATLAB最小二乘法多項式擬合

最小二乘法多項式擬合

matlab具有友好的程式設計介面，強大的計算能力，和出色的圖形處理功能，在工程領域具有重要應用，是科技工作者不可缺少的工具。

最小二乘擬合是一種數學上的近似和優化，利用已知的資料得出一條直線或者曲線，使之在座標系上與已知資料之間的距離的平方和最小。最小二乘擬合在工程中具有普遍應用，是資料分析的重要方法。最小二乘法擬合的模型主要有：

1.直線型2.多項式型3.

分數函式型4.指數函式型5.對數線性型6.

高斯函式型等，不同的應用情況，選用不同的擬合模型。其中多項式型擬合模型應用比較廣泛。鑑於最小二乘擬合的在工程中普遍應用，筆者結合matlab課上所學，針對最小二乘多項式擬合模型進行了程式設計。

實驗發現，程式執行良好，可以很好的進行資料擬合分析。

一、實驗過程

點選執行程式後，會提示輸入資料，資料以向量形式存在，分別為x、y向量。兩個向量大小需一致，否則會提示錯誤。輸入資料正確後，程式會給出一段提示資訊：

「通過下面的互動式圖形，你可以事先估計一下你要擬合的多項式的階數，方便下面的計算.polytool()是互動式函式，在圖形上方[degree]框中輸入階數，右擊左下角的[export]輸出圖形，回車開啟polytool互動式介面」

例如執行後在命令視窗輸入一下資料：

x=[1,2,3,4,5,6]

y=[0.3,1,1.8,3.2,4.8,6.9]

輸入多項式擬合的階數 m = 3

這時命令視窗輸出多項式的各項係數如下：

a3 = 0.0074074074074074

a2= 0.1043650793650796

a1 = 0.2683862433862423

a0 = -0.0666666666666650

觀測資料擬合資料

x y yh

1.0000 0.3000 0.3135

2.0000 1.0000 0.9468

3.0000 1.8000 1.8778

4.0000 3.2000 3.1508

5.0000 4.8000 4.8103

6.0000 6.9000 6.9008

剩餘平方和q = 0.011587

標準誤差 sigma = 0.053822

相關指數rr = 0.999629

資料擬合曲線圖如圖—1所示。

命令視窗提示輸入插值點，此時可以輸入感興趣的點，進行擬合值的計算，實驗中輸入x=3.2，擬合計算結果，y=2.1.36.

輸入插值點x0 = 3.2

輸出插值點擬合函式值 y0 = 2.1036

二、程式**及結果圖示。

disp('請以向量的形式輸入x,y.')

x=input('x=');

y=input('y=');

nx = length(x);

ny = length(y);

n = length(x);

if nx == ny

x1 = x(1); xn = x(n);

% n個資料可以擬合(n-1)階多項式,高階多項式多次求導,數值特性變差

disp('通過下面的互動式圖形，你可以事先估計一下你要擬合的多項式的階數，方便下面的計算.')

disp('polytool()是互動式函式,在圖形上方[degree]框中輸入階數,右擊左下角的[export]輸出圖形')

disp('回車開啟polytool互動式介面')

pause;

polytool(x,y,1)

% 觀察多項式擬合的圖形,選擇置信區間最小的多項式階數

disp('回車繼續進行擬合')

pause;

% (2)-----計算多項式的各項係數和擬合值

m=input(' 輸入多項式擬合的階數 m = ');

[p,s]=polyfit(x,y,m);

disp ' 輸出多項式的各項係數'

fprintf (1a = %3.16f \n',p)

disp ' 輸出多項式的有關資訊 s'

disp (s)

[yh,delta]=polyconf(p,x,s);

disp觀測資料擬合資料'

disp ' x y yh'

for i = 1 : n

xy = [x(i) y(i) yh(i)];

disp (xy)

end% (3)-----繪製觀測資料離散點圖和多項式曲線

plot(x,y,'r.')

title('\bf 實驗資料離散點圖 / 多項式曲線 \it y = a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...')

grid

hold on;

xi=[x1:0.1:xn];

yi=polyval(p,xi);

plot(xi,yi,'k-')

% (4)-----擬合效果和精度檢驗

q=sum((y-yh).^2);

sgm = sqrt(q / (n - 2));

rr = sum((yh-mean(y)).^2)/sum((y-mean(y)).^2);

fprintf (1,' 剩餘平方和q = %3.6f \n',q)

fprintf ('\n')

fprintf (1標準誤差 sigma = %3.6f \n',sgm)

fprintf ('\n')

fprintf (1相關指數rr = %3.6f \n',rr)

fprintf ('\n')

disp('請輸入你所需要擬合的資料點，若沒有請按回車鍵結束程式.')

fprintf ('\n')

x0=input(' 輸入插值點x0 = ');

y0=polyval(p,x0);

fprintf (1,' 輸出插值點擬合函式值 y0 = %3.4f \n',y0)

else

disp('輸入的資料有誤，請重新執行程式並輸入正確的資料。')

clear

end圖--1

MATLAB最小二乘法多項式擬合

最小二乘法

最小二乘法應用例項

最小二乘法在統計學中應用

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