數學試題(文科)
注意事項：1．本試卷分第ⅰ卷、第ⅱ卷和答題卡。
2．答題前，考生務必先將自己的姓名、班級、考號、座位號填寫在答題卡的指定位置。
3．考試結束後，將答題卡交回。
第ⅰ卷一．選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分。在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．函式的反函式為( )
ab．cd．2．某校有學生4500人，其中高三學生1500人．為了解學生的身體素質情況，採用按分層抽樣的方法，從該校學生中抽取乙個300人的樣本．則樣本中高三學生的人數為（ ）
a．50b．100c．150d．20
3．等比數列是遞減數列，其前項積為，若，則
abcd．
4．已知，則的值等於
abcd．
5．設是邊長為1的正所在平面外一點，且，那麼與平面所成的角為
abcd．
6．設，若，那麼有
a．最大值b．最大值 c．最大值2d．最大值
7．5名學生與兩名教師站成一排照相，兩名教師之間恰好有兩名學生的不同站法有( )種
a．120b．240c．480d．960
8．過的中線的中點作直線分別交、於、兩點，若，則( )
a．4b
c．3d．1
9．已知異面直線成角為，過空間一定點且與成角均為的直線有條，則的取值範圍為
abcd．
10．不等式的解集為( )
a． b． cd．
11．在正方體的8個頂點中任取2個頂點所得的所有直線中任取2條，則所取的2條成一對異面直線的概率為
abcd．
12．已知函式，若數列滿足，且單調遞增，則實數的取值範圍為
abcd．
第ⅱ卷二．填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卷上的相應位置
13．的展開式中的常數項為
1415．三個互不相等的實數成等比數列，且滿足，則實數的取值範圍為________。
16．已知定義域為的函式對任意實數滿足：，且不是常函式，常數使，給出下列結論：①；②是奇函式；③是週期函式且乙個週期為；④在內為單調函式。其中正確命題的序號是
三．解答題：本大題共6個小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟
17．(12分)已知函式。
(1)求的最小正週期和單調減區間；
(2)求在區間上的最大值和最小值，並指出相應的的值。
18．(12分)甲、乙、丙三人參加北大自主招生考試，分理論考試和面試兩部分，每部分成績只記「合格」與「不合格」，兩部分都合格就被錄取。甲、乙、丙三人理論考試中合格的概率分別為、、，面試合格的概率分別為、、，所有考試是否合格相互之間沒有影響。
(1)甲、乙、丙三人誰被錄取的可能性最大？
(2)求這三人都被錄取的概率；
19．(12分)如圖，已知正三稜柱的底面邊長為，是稜之中點，。
(1)求證：∥平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求點到平面的距離。
20．(12分)已知函式。
(1)若函式在區間上單調遞增，求正實數的取值範圍；
(2)若關於的方程的解都在區間內，求實數的取值範圍。
21．(12分)已知函式為常數)有極值，且處的切線與直線平行。
(1)求實數的取值範圍；
(2)是否存在實數，使得的兩個根滿足：，若存在，求實數的取值範圍；若不存在，請說明理由。
22．(14分)已知數列滿足：。
(1)求；
(2)求數列的通項公式；
(3)設，若對恆成立，求實數的取值範圍。
成都外國語學校高2011級12月月考
數學試題(文科)
參***
一．選擇題：
二．填空題：
1314．1； 1516．③
三．解答題：
17．解：
(1)的最小正週期；
由，得所以的單調減區間為
(2)因，則
所以當即時，；
當即時，
18．解：分別記「甲、乙、丙被錄用」為事件a、b、c，且a、b、c相互獨立。
(1)因，所以乙被錄用的可能性最大。
(2)記「三人都被錄用」為事件d，則d=abc，且a、b、c相互獨立
則答：(1)乙錄取的可能性最大；(2)三人都被錄取的概率為
19．解法一：如圖，取之中點為，連線點，
在正三稜柱中，則有兩兩互相垂直，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間右手直角座標系。
，且為之中點，，所以側稜，則所需各點的座標分別為：，
(1)設平面的法向量為，又，
則由，取，又
即，又平面，∥平面
(2)由(1)知平面的法向量(向外)，設平面的法向量，
又，，由，取(向內)
，所以二面角的平面角的大小
(3)由(1)知平面的法向量，又，則點平面的距離為
。解法二：不用空間向量略
20．解：(1)函式在區間上單調遞增，
且，解得，即正實數的取值範圍為。
(2)，由得
令，則有，即
又的解都在區間，則方程(*)的根分布在，
，解得，即
所以實數的取值範圍為
21．解：(1) 為常數)，
又有極值，且處的切線與直線平行，
，即，所以實數的取值範圍為
(2)假設存在實數符合題意，則(1)知方程即為的兩根滿足：，由一元二次方程的根的分布有：
解之得，此時
不存在實數，使得的兩個根滿足：。
22．解：(1)， (*)，又
(2)由兩邊同減去1，得
對上式取倒數，得，又
則數列是以為首項，為公差的等差數列，
，即，(3)由(2)知，而
又，則有
又因對恆成立，則有
即對恆成立。
設函式，
則 所以是單調遞減，則當時，取得最大值為
即 所以實數的取值範圍為。
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