四、問題二的分析與建模
4.1問題二的分析
繩索的直徑，軟硬和表面的摩擦係數等機械效能都會影響打的繩結是否容易自動鬆脫。不同的打結方法下，繩索的機械效能與繩結是否容易自動鬆脫之間存在一定的關係。
繩子的材質、結繩的力度等因素不同，是否容易自動鬆脫的性質可能也有區別，但本文不考慮這些因素，假設繩索的材質相同，結繩的力度相同且適宜。為了使繩索最不易鬆脫，我們通過改變繩索的機械效能的不同因素，從而找出其與繩結是否容易自動鬆脫之間的關係。可採用的改變繩索機械效能的方法有（1）減小繩索的橫截面積（直徑）；（2）降低繩索的硬度；（3）增加繩與繩相接處表面的摩擦力；（4）減小繩子的彈性。
在制定方案時，主要考慮的因素有：減小繩子的張力，增大繩子相接處的摩擦力。
對於這個問題可以採用層次分析法進行分析。上述的各項方法：減小繩索的橫截面積（直徑）；降低繩索的硬度；增加繩與繩相接處表面的摩擦力；減小繩子的彈性。
其目的都是為了減小繩子的張力，增大繩子相接處的摩擦力。而這一切最終目的都是為了提高繩索的機械效能，使繩結最不易鬆脫。
4.2模型建立與演算法設計
4.2.1 根據上述分析，我們可以構建如圖(4.1)所示的層次分析結構。
目標層a
準則層b
方案層c
圖（4.1)
4.2.2符號說明及相關定義
1）記a為一致矩陣
=n，其中n為rank(a)
2）一致性指標
3）平均隨機一次性指標
4）一致性比例
注：當cr<0.10時，認為判斷矩陣的一致性成立，否則需要修改
4.2.3設立標度
採用對因子通過兩兩比較方式,確定層次中諸因素相對重要性,然後綜合判斷。設兩個因子對z的影響之比為,為了確定的值及一致性檢驗，引入saaty等建議採用表4-2所示的標度和平均隨機一致性指標ri標準值表4-3。
表4-2 比例標度表
表4-3 平均隨機一致性指標ri標準值(不同的標準不同，ri的值也會有微小的差異)
4.2.4構造判斷矩陣
(1)判斷矩陣a-b
判斷矩陣b1-c
判斷矩陣b2-c
2)檢驗各層次單排序計算及一致性檢驗結果如下：
判斷矩陣a-b:
， = ci= ri= cr=
判斷矩陣b1-c:
， = ci1= ri1= cr1=
判斷矩陣b2-c:
， = ci2= ri2= cr2=
(3)構造總目標的層次總排序計算如下：
4)層次總排序一次性檢驗如下：
4.2.5編寫匹配演算法
步驟一：將三個判斷矩陣的資料輸入記事本，分別以a、b1、b2命名並儲存，放入matlab的work資料夾
步驟二：用matlab建立m檔案，編寫命令如下：
clear all；…
見《數學建模及其常用軟體》p237（李彥龍填寫matlab）
4.3模型計算結果
由試驗粗略估計兩兩因子之間的比，帶入我們的模型與演算法，利用matlab程式設計，得到結果影響繩結自動鬆脫的繩子的機械效能c1減小繩索的橫截面積（直徑）、c2降低繩索的硬度增加、c3繩與繩相接處表面的摩擦力、c4減小繩子的彈性權重分別為 _ _ _ _。
5、模型的評價與推廣
5.1模型的評價
5.1.1模型的主要優點
它把複雜問題分解為各個組成因素,將這些因素按支配關係分組,使之形成有序的遞階層次結構。通過兩兩比較方式,確定層次中諸因素相對重要性,然後綜合判斷,將決策諸因素相對重要性進行排序。ahp法體現了決策思維過程中分解、判斷、綜合的基本特徵,將決策過程中定性和定量分析相結合,將備擇方案優劣的直接判斷轉變成以權向量表示的各方案優劣的判斷。
結果評價,比憑經驗直接確定更確切。
5.1.2模型的改進
增加影響因子，獲取更準確的資料。。。。
5.2模型的推廣
該模型應用前景廣闊，對於影響繩結自動鬆脫因素的比較，從而使繩結更牢固安全，是人們在日常生活中常用給繩索打結技能，特別是在登山、航海、垂釣、野外生存等方面發揮很大作用。
參考文獻
【1】狄秀榮王彥輝吳國林 《數學建模及其常用數學軟體》p60-68、p238-239廣西師範大學出版社.2012.6【2】
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