壓軸題專練（四）
1. 如圖所示，在平面直角座標系中，四邊形abcd是直角梯形，bc∥ad，∠bad＝ 90°，bc與y軸相交於點m，且m是bc的中點，a、b、d三點的座標分別是a（－1，0），b( －1，2)，d( 3，0)，連線dm，並把線段dm沿da方向平移到on，若拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點d、m、n．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線上是否存在點p．使得pa＝pc．若存在，求出點p的座標；若不存在．請說明理由．
（3）設拋物線與x軸的另—個交點為e．點q是拋物線的對稱軸上的乙個動點，當點q在什麼位置時有最大？並求出最大值．
2.如圖，在等腰梯形abcd中，ad＝4，bc＝9，∠b＝45°．動點p從點b 出發沿bc向點c運動，動點q同時以相同速度從點c出發沿cd向點d運動，其中乙個動點到達端點時，另乙個動點也隨之停止運動．
（1）求ab的長；
（2）設bp＝x，問當x為何值時△pcq的面積最大，並求出最大值；
（3）**：在ab邊上是否存在點m，使得四邊形pcqm為菱形？請說明理由．
參***：
1、解：（1）由題意可得m（0，2），n（－3，2），
∴ 解得：∴y＝
（2）∵pa＝pc， ∴p為ac的垂直平分線上，依題意，ac的垂直平分線經過（－1，2）、（1，0），其所在的直線為y＝－x＋1．
根據題意可列方程組
解得：∴p1（）、p2（）．
（3）如圖所示，延長dc交拋物線的對稱軸於點q，根據題意可知此時點q滿足條件．
由題意可知c（1，2），d（3，0），可求得cd所在的直線的解析式為．
拋物線的對稱軸為直線．
∵點q在直線x＝－1.5上，又在直線上．
∴q（－1 .5，4.5），qe＝qd．
∴．即當點q的座標為（－1.5，4.5）時，有最大值，最大值為．
2、解：（1）作ae⊥bc，∵等腰梯形abcd中，ad＝4，bc＝9，∴be＝（bc﹣ad）÷2＝2.5，
∵∠b＝45°，∴ab＝，
（2）作qf⊥bc，∵等腰梯形abcd，∴∠b＝∠c＝45°，
∵點p和點q的運動速度、運動時間相同，bp＝x，∴bp＝cq＝x，∵bc＝9，
∴cp＝9﹣x，qf＝x，設△pqc的面積為y，∴y＝（9﹣x）x·，
即y＝－x＋x，∴當x＝﹣＝時，y的值最大，∴當x＝時，△pqc的面積最大，
（3）假設ab上存在點m，使得四邊形pcqm為菱形，
∵等腰梯形abcd，∠b＝∠c＝45°，
∴cq＝cp＝bp＝mp，∠b＝∠c＝∠mpb＝45°，
∴∠bmp＝45°，
∵∠b＝∠apb＝∠bmp＝45°，不符合三角形內角和定理，
∴假設不存在，
∴邊ab上不存在點m，使得四邊形pcqm為菱形．
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