幾何證明中的幾種技巧
一．角平分線－－軸對稱
1．已知在δabc中，ｅ為ｂｃ的中點，ａｄ平分，於求ｄｅ的長．
分析：延長ｂｄ交ａｃ於ｆ．可得δabd≌δafd．則ｂｄ＝ｄｆ．又ｂｅ＝ｅｃ，即ｄｅ為δbcf的中位線．∴．
2．已知在δabc中平分．求證
分析：在ｂｃ上擷取ｂｅ＝ｂａ，連線ｄｅ．可得δbad≌δbed．由已知可得：，，．
3．已知在δabc中平分．求證
分析：在ｂｃ上分別擷取易證δabd≌δebd．∴ａｄ＝ｅｄ，
．由已知可得：，．由∵ｂｆ＝ｂｄ，
∴．由三角形外角性質可得：．∴ｃｆ＝ｄｆ．
4．已知在δabc中，，，ａｆ平分，過ｆ作交ａｂ於ｄ．求證：ａｃ＝ａｄ．
分析：延長ｄｆ交ａｃ於
易證δagf≌δaef．∴ｅｆ＝ｆｇ．則易證δgfc≌δefd．∴ｇｃ＝ｅｄ．
∴ａｃ＝ａｄ．
5．如圖（１）所示，ｂｄ和ｃｅ分別是的外角平分線，過點ａ作ａｆ⊥ｂｄ於ｆ，ａｇ⊥ｃｅ於ｇ，延長ａｆ及ａｇ與ｂｃ相交，連線ｆｇ．
（1）求證：
（2）若（a)ｂｄ與ｃｅ分別是的內角平分線（如圖（２））；
b)ｂｄ是δabc的內角平分線，ｃｅ是δabc的外角平分線（如圖（３））．
則在圖（２）與圖（３）兩種情況下，線段ｆｇ與δabc的三邊又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，並對其中的一種情況給予證明．
圖圖圖（３）
分析：圖（１）中易證δabf≌δibf及δacg≌δhcg．∴有及為δaih的中位線．∴．
同理可得圖（２）中；圖（３）中
6．如圖，δabc中，ｅ是ｂｃ邊上的中點，ｄｅ⊥ｂｃ於ｅ，交的平分線ａｄ於ｄ，過ｄ作ｄｍ⊥ａｂ於ｍ，作ｄｎ⊥ａｃ於ｎ．求證：ｂｍ＝ｃｎ．
分析：連線ｄｂ與ｄｃ．∵ｄｅ垂直平分易證δamd≌δand．
∴有ｄｍ＝ｄｎ．∴δbmd≌δ***
7．如圖，在δabc中，，ａｄ平分．求證
分析：在ａｃ上擷取ａｅ＝ａｂ，連線ｄｅ．則有δabd≌δaed．∴ｂｄ＝ｄｅ．
∴．又∵，∴．
8．在四邊形ａｂｃｄ中，ａｃ平分，過ｃ作ｃｅ⊥ａｂ於ｅ，且．求的度數．
分析：延長ａｂ到ｆ，使得ｂｆ＝ａｄ．則有ｃｅ垂直平分
∴．∴有δcbf≌δcda（ｓａｓ）．∴．
∴．2．旋轉
1．如圖，已知在正方形ａｂｃｄ中，ｅ在ｂｃ上，ｆ在ｄｃ上
求證：．
分析：將δadf繞ａ順時針旋轉得．∴．易證δage≌δafe．
∴ ２如圖，在中，，ａｂ＝ｂｃ，ｄ為ａｃ中點．ａｂ的延長線上任意一點ｅ．ｆｄ⊥ｅｄ交ｂｃ延長線於ｆ．求證：ｄｅ＝ｄｆ．
分析：連線ｂｄ．則可視為繞ｄ順時針旋轉所得．易證ｂｄ⊥ｄｃ與
ｂｄ＝ｃｄ．則．又易證．∴δbde≌δcdf．∴ｄｅ＝ｄｆ．
3．如圖，點ｅ在δabc外部，ｄ在邊ｂｃ上，ｄｅ交ａｃ於ｆ．若，
ａｃ＝ａｅ．求證：δabc≌δade．
分析：若δabc≌δade，則δade可視為δabc繞ａ逆時針旋轉所得．則有．
∵，且．∴．又∵．
∴．再∵ａｃ＝ａｅ．∴δabc≌δade．
4．如圖，δabc與δedc均為等腰直角三角形，且ｃ在ａｄ上．ａｅ的延長線交ｂｄ於ｆ．請你在圖中找出一對全等三角形，並寫出證明過程．
分析：將rtδbcd視為rtδace繞ｃ順時針旋轉即可．
5．如圖，點ｅ為正方形ａｂｃｄ的邊ｃｄ上一點，點ｆ為ｃｂ的延長線上的一點，且ｅａ⊥ａｆ．求證：ｄｅ＝ｂｆ．
分析：將δabf視為δade繞ａ順時針旋轉即可．
∵．∴．
又abf≌δade
3．平移
1．如圖，在梯形ａｂｃｄ中求梯形ａｂｃｄ的中位線長．
分析：延長ｄｃ到ｅ使得ｃｅ＝ａｂ．連線ｂｅ．可得．可視為將ａｃ平移到ｂｅ．ａｂ平移到ｃｅ．由勾股定理可得ｄｅ＝１７．∴梯形ａｂｃｄ中位線長為８．５．
2．已知在δabc中，ａｂ＝ａｃ，ｄ為ａｂ上一點，ｅ為ａｃ延長線一點，且ｂｄ＝ｃｅ．求證：ｄｍ＝ｅｍ．
分析：作ｄｆ∥ａｃ交ｂｃ於ｆ．易證ｄｆ＝ｂｄ＝ｃｅ．則ｄｆ可視為ｃｅ平移所得．
∴四邊形ｄｃｅｆ為．∴ｄｍ＝ｅｍ．
4．中點的聯想
（1）倍長
1．已知，ａｄ為的中線．求證：ａｂ＋ａｃ>２ａｄ．
分析：延長ａｄ到ｅ使得ａｅ＝２ａｄ．連線ｂｅ易證δbde≌δcda．
>２ａｄ．
2．如圖，ａｄ為δabc的角平分線且ｂｄ＝ｃｄ．求證：ａｂ＝ａｃ．
分析：延長ａｄ到ｅ使得ａｄ＝ｅｄ．易證δabd≌δecd．∴ｅｃ＝ａｂ．
3．已知在等邊三角形ａｂｃ中，ｄ和ｅ分別為ｂｃ與ａｃ上的點，且ａｅ＝ｃｄ．連線ａｄ與ｂｅ交於點ｐ，作ｂｑ⊥ａｄ於ｑ．求證：ｂｐ＝２ｐｑ．
分析：延長ｐｄ到ｆ使得ｆｑ＝ｐｑ．在等邊三角形ａｂｃ中又abd≌δbce．
∴．∴．
易證δbpq≌δbfq．得ｂｐ＝ｂｆ，又．∴δbpf為等邊三角形．
∴ｂｐ＝２ｐｑ．
（2）中位線
1．已知在梯形ａｂｃｄ中，ａｄ∥ｂｃ，ｅ和ｆ分別為ｂｄ與ａｃ的中點．
求證：．
分析：取ｄｃ中點ｇ，連線ｅｇ與ｆｇ．則ｅｇ為δbcd中位線，ｆｇ為δacd的中位線．
過一點ｇ有且只有一條直線平行於已知直線ｂｃ，即ｅ、ｆ、ｇ共線．∴．
（3）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
1．已知，在中．ｅ為ｏａ的中點，ｆ為ｏｄ中點，ｇ為ｂｃ中點．
求證：ｅｆ＝ｅｇ．
分析：連線ｂe
∴．又ｅｆ為δaod的中位線
2．在δabc中，ａｄ是高，ｃｅ是中線於ｇ．
求證分析：（１）連線ｄｅ．則有rtδcdg≌rtδedg（ｈｌ）．
∴ｅｇ＝ｃｇ．
（23．已知：在等腰梯形ａｂｃｄ中分別是ｏａ、ｏｂ、ｃｄ的中點．求證：δefg是等邊三角形．
分析：連線ｅｄ、ｆｃ．易證δaod與δboc均為正三角形．由已知可得．
在rtδcde與rtδcdf中，有即是等邊三角形．
6．等面積法
1．已知在δabc中，，ａｄ⊥ｂｃ於
求ａｄ的長．
分析：．
2．已知ｐ為矩形ａｂｃｄ中ａｄ上的動點（ｐ不與ａ或ｄ重合）．ｐｅ⊥ａｃ於ｅ，ｐｆ⊥ｂｄ於ｆ．，．問：ｐｅ＋ｐｆ的值是否為一定值？若是，求出此值並證明；若不是，說明理由．
分析：連線ｐｂ、ｐｃ．易得．
∴．又，．
∴．3．已知在矩形ａｂｃｄ中於ｐ，ｄｑ⊥ｆｇ於ｑ．
求證：ｔ在的平分線上．
分析：連線ｅｇ、ｆｄ及ｏｔ．∵及．又
易證rtδpgd≌rtδqdg
∴rtδpdt≌rtδqgt
即ｔ在的平分線上．
幾何證明中的幾種技巧 教師用
一 角平分線 軸對稱 1 已知在 abc中，為 的中點，平分，於求 的長 分析 延長 交 於 可得 abd afd 則 又 即 為 bcf的中位線 2 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上擷取 連線 可得 bad bed 由已知可得 3 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上分別擷取易證 ab...
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1 已知在 abc中，為 的中點，平分，於求 的長 分析 延長 交 於 可得 abd afd 則 又 即 為 bcf的中位線 2 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上擷取 連線 可得 bad bed 由已知可得 3 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上分別擷取易證 abd ebd 由已知可得...
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一 角平分線 軸對稱 1 已知在 abc中，為 的中點，平分，於求 的長 分析 延長 交 於 可得 abd afd 則 又 即 為 bcf的中位線 2 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上擷取 連線 可得 bad bed 由已知可得 3 已知在 abc中平分 求證 分析 在 上分別擷取易證 ab...