**題目：五軸聯動數控加工複雜型面工件
插補方法的研究
作者專業學號指導教師
年月日摘要五軸聯動數控工具機廣泛用來加工複雜型面工件，本文對複雜曲面插補資料的數學處理方法進行了分析，並對測量得到的複雜曲面零件的圖表資料進行了數學處理，使之能夠滿足數控加工的需要；插補方法採用雙nurbs曲線插補可以基本消除非線性誤差，提高了數控工具機的走刀精度和加工質量，分析了nurbs曲線定義及表示方法、nurbs曲線的實時插補演算法和雙nurbs曲線的插補格式。
關鍵詞：五軸聯動；數控加工；資料處理；非均勻有理b樣條；插補
數控加工技術是乙個國家機械製造水平的衡量標誌之一。五軸聯動數控加工技術作為機械加工領域的關鍵技術，其研發和應用得到了科研院所，高校和企業的極大關注。五軸聯動數控技術不僅提高了機械加工的生產效率，更重要的是主要應用在航空航天，軍工模具等行業，對於實現國防現代化有著重要意義。
所謂五軸聯動加工是指一台工具機上五個座標軸同時控制協調運動進行加工。五軸聯動加工一般是指三個座標軸x-y-z和兩個轉動軸同時協調加工，旋轉軸的參與是刀具切削過程中始終處於最佳的切削狀態成為了可能。五軸聯動數控加工與一般的三軸聯動數控加工相比，主要有以下優點：
(1)通過定義適當的刀軸變化，可以避開刀具干涉，能夠加工一般三軸數控工具機所不能加工的複雜曲面。
(2)適合於直紋面的加工，採用側面銑削的方法，能夠實現一刀精加工成型，提高了加工質量和效率。
(3)對曲率半徑大且變化較小的大型曲面，採用大直徑刀具端麵銑削，能夠實現刀具大跨度切削，從面可以顯著提高加工表面質量和加工效率。
(4)刀具的可變化使複雜零件一次裝卡加工多個表面，實現了多工序的集中加工，有利於提高各加工要素的相互位置精度。
(5)五軸工具機加工過程中由於刀具/工件位姿角隨時可調，則不僅可以避免球頭銑刀的端部參與切削，而且還可以充分利用刀具的最佳切削點來進行切削。
(6)某些複雜曲面的清角問題，可以利用大直徑的刀具實現，刀具剛性好，能夠提高整個加工系統的剛性，可採用更高的切削速度，從而提高加工質量和加工效率。
對複雜型面零件的數控加工，一般都採用五軸聯動。但是，傳統cnc 系統都是將由cad/cam 系統生成的幾何型麵和刀具路徑按精度要求離散成大量直線段，再進行線性插補加工。理論和實驗證明，採用直線段逼近複雜曲線並使用線性插補加工存在很多不足，如導致進給速度劇烈波動,進給速度下降，又如**段數量龐大。
更致命的是,這種方法對精度和速度的要求是一對矛盾。要克服這些不足, 必須用曲線直接插補。其中，nurbs（非均勻有理b 樣條）曲線曲面可以統一表達自由曲線曲面和解析曲線曲面，並具有平滑性、區域性可控性等優點，被國際標準化組織（ iso） 確定為自由型零件、產品幾何表達的唯一形式,並已在cad/ cam 領域得到成功應用。
因此在cnc 領域對nurbs 曲線直接插補的研究具有重要意義。
複雜曲面一般是指除球面，雙曲線，拋物線，橢球面等第二次曲線方程所能表達的曲面，一般有兩種：一種是高次曲面，一般用通過理論計算得到的曲面方程來表示；另一種是由許多曲面的連線和剪下得到的混合曲面，其表面資料往往是通過反求工程獲得的。前者理論計算得到的曲面方程可以利用cad軟體來進行建模處理，用cam軟體來進行數控加工程式的編制；後者一般為通過反求工程得到的工程資料列表，對工程資料列表的快速高效處理一直都是cad技術研究的熱點。
現實生產過程中，複雜曲面的零件輪廓形狀是通過實驗或試製方法得到的，因而確定零件形狀的輪廓的測量得到的資料點往往是離散的，各座標點之間往往沒有確定的數學關係，但在加工過程中，要求加工的曲線能夠平滑的通過或接近已知的各座標點，並且限制了加工精度。這就要求對所獲得的資料進行一定的數學處理，以獲得能夠滿足加工精度的曲線作為複雜曲面的數學模型。從而為數控加工提供了條件。
本文利用一種用於工程計算的高效能程式語言matlab來進行資料處理，採用最小二乘法的判別準則，對所得資料進行了擬合，滿足了擬合精度要求。
最小二乘法的基本思想是對應資料確定的擬合曲線與各座標點的偏差的平方和最小。設由實驗所得n個點的座標是（x0, y0）(x1, y1)…(xn, yn)。設擬合公式為，則擬合曲線在第一點結點處與實際值的偏差為ei=f(xi)－yi，則偏差的平方和為
所求擬合多項式的相應系數值的原則是上式中各偏差的平方和最小。
設擬合公式是多項式為：
已知n個點座標是（x0, y0）(x1, y1)…(xn, yn)(n>>m)則各點偏差的平方和為： （1）
上式的最小值既是偏差平方和的最小值，根據連續函式求極值的方法，對各變數求偏導數，令其偏導數等於零，所得方程組為
2）上式中有m+1個未知數，有m個方程，因此聯立方程組可求各系數值。上述擬合過程在數控加工的程式設計工作中，一般被稱為第一次逼近（或稱第一次數學處理）。
第一次逼近所得的結果一般都不能直接用於程式設計，而必須取得逼近列表曲線的直線或圓弧資料，這一擬合過程在程式設計中被稱為第二次數學處理（或稱為第二次逼近）。
雖然高檔的數控控制系統已經能夠對樣條曲線進行處理，但大多數的數控控制系統只能用圓弧和直線的方法來逼近。從而得到適用的加工程式。本文採用等誤差直線逼近法來處理用數學方程來表示的輪廓圖形。
一般來說，由於弦線法的插補節點均在曲線輪廓上，容易計算，程式編制也簡單一些，所以常用弦線法來逼近非圓曲線，其關鍵在於插補段長度及插補誤差控制。由於各種曲線上各點的曲率不同，如要使各段插補誤差相同，則各插補段長度不等。此種方法的優點是插補段數目比較少。
這對於大型和形狀複雜的曲線零件有較大意義。
實際加工曲線過程中，工具機控制刀具按設計的曲線運動即可，其輪廓的形狀由刀具的包絡而成。曲線加工的理論刀具軌跡是曲線本身，不必考慮刀具的補償問題。但一般數控系統只具有直線，圓弧等少數插補功能，因此擬合所得的曲線不能被數控系統處理，此時需要對給定的曲線按照允許的逼近誤差進行離散逼近。
對於複雜曲線的逼近，可以採用等引數，等步長，等誤差三種方法對其進行逼近處理。
本文利用matlab強大的計算功能來進行計算，並核算其擬合的精度。設擬合精度為0．01mm。
在matlab中，求解多項式可以通過陣列或矩陣的方法，前者採用的函式是polycval( )，後者採用的函式為polyvalm( )，兩者的區別主要在於矩陣計算和陣列計算的差別。對一曲面沿x軸方向第隔1測量點的座標，得到數表如表1所示。
表1 資料圖表
設擬合精度為0.01mm。基於最小二乘法的判別準則，第一次做2次擬合，求出各係數，並對測量資料點比較，求出擬合誤差。
處理程式及結果如圖1所示:，即擬合結果不能滿足精度要求。
圖1 二次擬合程式及擬合誤差
利用上述方法編制計算處理程式，求出各項係數，並求出擬合誤差與要求擬合精度相比較，若超差，則進行更高次擬合。處理程式及結果如圖2所示：，擬合結果顯然已滿足精度要求。
圖2 三次擬合程式及擬合誤差
擬合圖形如圖3所示，圖形結果顯示三次擬合能夠更加準確表示的各資料之間的趨勢。同樣利用matlab這個數學工具，避免了計算的複雜性，提高了工作效率。
圖3 多項式擬合曲線圖
nurbs是non-uniform rational b-spline的縮寫，稱為非均勻有理b樣條。nurbs曲線不僅能夠精確的統一表示標準解析曲線和自由曲線，如圓錐曲線、bézier曲線等，而且它的形狀控制能力也十分強大、靈活。2023年國際標準化組織將nurbs方法規定為step（standard for the exchange of product model data工業產品模型資料交換標準）標準中定義工業產品幾何形狀的唯一數學方法。
nurbs曲線是用分段有理b樣條多項式定義的，一條k 次nurbs 曲線可表示為一分段有理多項式矢函式，其形式如下：
3）其中，
vi——控制點座標；
wi——權重引數；
n——加法總和的上標，由0到n共（n+1）個控制點；
k——nurbs曲線的級數，其階數為（k-1）階；
ni,k(u)——基底函式；
ri,k(u)——有理式基底函式。
而基底函式滿足下列數學式：
4）其中ui為節點，由節點所形成的向量稱為節點向量：
5）nurbs曲線在使用上的特性分別描述如下：
（1）nurbs曲線的級數k、節點引數m以及控制點引數n之間必須滿足
m=n+k6）
其中，節點向量長度為（m+1）。
（2）將nurbs表示為。假如，則ri,k(u)=0。因此，nurbs曲線中任一權重引數或控制點的變化僅會影響曲線k個節點區間。
根據b 樣條曲線的幾何特性可知：k 次b 樣條曲線的r 階導矢是k - r 次b 樣條曲線。所以求b 樣條曲線上某點處的導矢也就是求新的k - r 次b 樣條曲線上的點。
要計算nurbs 曲線上某點處的導矢，可以將nurbs 曲線定義式的分子分母部分分別看成是b樣條曲線，分別計算它們相應的點值和導矢值後再求解即可。
m階導矢的計算：
7）為有理式基底函式的m階微分，其一次微分為：
8）而b 樣條基函式是由下式迭代可得
9）nurbs 曲線的引數連續性由定義域內的重複節點決定，在定義域內，節點具有最高重複度為r 的k 次b 樣條基函式是k - r 次可微的，也就是ck - r 。這導致所定義的k 次b 樣條曲線也是ck - r 。nurbs 曲線可微性的完整表述為：
k 次nurbs 曲線在其定義域內的非零節點區間內部或在每一曲線段內部是無限次可微的；在定義域內重複度為r 的節點處則是k - r 次可微的。由此可知，nurbs 曲線在引數連續性的基礎上解決了線性插補中的段與段的連線問題。在通常採用的nurbs 插補中，多採用三次nurbs 曲線，以實現在一階節點重複度下能實現曲線的二階連續性c2 連續。
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