（23）圖形與證明
（1）了解證明的含義
〖考試內容〗
定義、命題、逆命題、定理.定理的證明.反證法.
〖考試要求〗：
①理解證明的必要性.
②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區分命題的條件（題設）和結論.
③結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，並知道原命題成立其逆命題不一定成立.
④理解反例的作用，知道利用反例可以證明乙個命題是錯誤的.
⑤通過例項，體會反證法的含義.
⑥掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要求步步有據.
（2）掌握證明的依據
〖考試內容〗
一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等.
兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那麼這兩條直線平行.
若兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，則這兩個三角形全等.
兩個三角形的兩角及其夾邊分別相等，則這兩個三角形全等.
兩個三角形的三邊分別相等，則這兩個三角形全等.
全等三角形的對應邊、對應角分別相等.
〖考試要求〗
運用以上6條「基本事實」作為證明的依據.
（3）利用（2）中的基本事實證明下列命題
〖考試內容〗
平行線的性質定理（內錯角相等、同旁內角互補）和判定定理（內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行）.
三角形的內角和定理及推論（三角形的外角等於不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大於任何乙個和它不相鄰的內角）.
直角三角形全等的判定定理.
角平分線性質定理及逆定理；三角形的三條角平分線交於一點（內心）.
垂直平分線性質定理及逆定理；三角形的三邊的垂直平分線交幹一點（外心）.
三角形中位線定理.
等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理.
平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理.
〖考試要求〗
①會利用（2）中的基本事實證明上述命題.
②會利用上述定理證明新的命題.
③練習和考試中與證明有關的題目難度，應與上述所列的命題的論證難度相當.
④通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值.
〖考點複習〗
[例1]（2018大連）如圖，已知ad∥bc，ad=cb，求證：△dac≌△bca.
（說明：證明過程中要求寫出每步的證明依據）
[例2]（2018三明）已知：如圖，∠1=∠2，bd=bc.求證：∠3=∠4.
[例3]（2018陝西）如圖，四邊形abcd中，ac垂直平分bd於o，(1)圖中有多少對全等的三角形？請把它們寫出來。(2)任選(1)中的一對全等三角形加以證明。
[例4]（2018**市課改）如圖，已知△abc，請你增加乙個條件，寫出乙個結論，並證明你寫出的結論。
增加的條件為：
已知：求證：
證明[例5]（2018重慶）如圖，已知四邊形abcd是等腰梯形，ab=dc，ad∥bc，pb = pc.
求證：pa=pd.
[例6]（2018貴陽）同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形嗎？如果是，請給出證明（要求畫出圖形，寫出已知、求證、證明）；如果不是，請給出反例（只需畫圖說明）
[例7]（2018日照）如圖，已知四邊形abcd是平行四邊形，∠bcd的平分線cf交邊ab於f，∠adc的平分線dg交邊ab於g。
（1）求證：af=gb；
（2）請你在已知條件的基礎上再新增乙個條件，使得△efg為等腰直角三角形,並
說明理由．
〖考題訓練〗
1．（2018宜昌）已知：如圖，ab＝ac,ae＝ad，點d、e分別在ab、ac上．
求證：∠b＝∠c．
2．（2018南寧）如圖.下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出乙個正確的命題（只需寫出一種情況）.①ae = ad ②ab = ac ③ob = oc ④∠b=∠c
3．（2018黃石）已知：如圖，ad=bc，∠d=∠c，ac交bd於點e，求證：ac=bd.
4．（2018寧波）如圖,△abc中,ab=ac,過點a作ge∥bc,角平分線bd、cf相交於點h,它們的延長線分別交ge於點e、g.試在圖中找出3對全等三角形,並對其中一對全等三角形給出證明.
5．（2018河南）如圖，△abc中，abc＝45，adbc於d，點e在ad上，且de＝cd，求證：be＝ac。
6．（2018湖州）如圖，在平行四邊形abcd中，∠b，∠d的平分線分別交對邊於點e、f，交四邊形的對角線ac於點g、h。求證：ah=cg。
7．（2018常州）如圖，已知△abc為等邊三角形，d、e、f分別在邊bc、ca、ab上，且△def也是等邊三角形．
（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，並證明你的猜想是正確的；
（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程．
8．（2018茂名課改）如圖，用三個全等的菱形abgh、bcfg、cdef拼成平行四邊形adeh，連線ae與bg、cf分別交於p、q
（1） 若ab=6，求線段bp的長；（6分）
（2） 觀察圖形，是否有三角形與δacq全等？並證明你的結論，（4分）
解：9．（2018海口）在△abc中，∠acb = 90，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥mn於e.
（1）當直線mn繞點c旋轉到圖1的位置時，求證：①△adc≌△ceb；②de=ad+be；
（2）當直線mn繞點c旋轉到圖2的位置時，求證：de = ad-be；
（3）當直線mn繞點c旋轉到圖3的位置時，試問de、ad、be 具有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並加以證明.
〖課後作業〗
①．（2018徐州）如圖，已知ab=dc，ac=db.求證：∠a=∠d.
②（2018安徽）如圖, 已知ab∥de, ab=de, af=dc, 請問圖中有哪幾對全等三角形? 並任選其中一對給予證明.
③．（2018玉林）如圖，在△abc中，ab=ac，be平分∠abc，de∥bc．
求證：de=ec．
④．（2018無錫）已知：如圖，□abcd中，bd是對角線，ae⊥bd於e，cf⊥bd於f. 求證：be=df.
⑤．(2018金華)如圖，在△abc中，點d在ab上，點e在bc上，bd＝be。
（1）請你再新增乙個條件，使得△bea≌△bdc，並給出證明。
你新增的條件是
證明：（2）根據你新增的條件，再寫出圖中的一對全等三角形只要求寫出一對全等三角形，不再新增其他線段，不再標註或使用其他字母，不必寫出證明過程）
⑥．（2018溫州）如圖，四邊形abcd是平行四邊形，對角線ac、bd交於點o，過點o畫直線ef分別交ad、bc於點e、f。求證：oe＝of.
⑦．（2018 內江市）如圖，將等腰直角三角形abc的直角頂點置於直線上，且過a、b兩點分別作直線的垂線，垂足分別為d、e，請你仔細觀察後，在圖中找出一對全等三角形，並寫出證明它們全等的過程。
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