量子力學思考題
1、以下說法是否正確：
（1）量子力學適用於微觀體系，而經典力學適用於巨集觀體系；
（2）量子力學適用於不能忽略的體系，而經典力學適用於可以忽略的體系。
解答：（1）量子力學是比經典力學更為普遍的理論體系，它可以包容整個經典力學體系。
（2）對於巨集觀體系或可以忽略的體系，並非量子力學不能適用，而是量子力學實際上已經過渡到經典力學，二者相吻合了。
2、微觀粒子的狀態用波函式完全描述，這裡「完全」的含義是什麼？
解答：按著波函式的統計解釋，波函式統計性的描述了體系的量子態。如已知單粒子（不考慮自旋）波函式，則不僅可以確定粒子的位置概率分布，而且如粒子的動量、能量等其他力學量的概率分布也均可通過而完全確定。
由於量子理論和經典理論不同，它一般只能預言測量的統計結果，而只要已知體系的波函式，便可由它獲得該體系的一切可能物理資訊。從這個意義上說，有關體系的全部資訊顯然已包含在波函式中，所以說微觀粒子的狀態用波函式完全描述，並把波函式稱為態函式。
3、以微觀粒子的雙縫干涉實驗為例，說明態的疊加原理。
解答：設和是分別開啟左邊和右邊狹縫時的波函式，當兩個縫同時開啟時，實驗說明到達屏上粒子的波函式由和的線性疊加來表示，可見態的疊加不是概率相加，而是波函式的疊加，屏上粒子位置的概率分布由確定，**現有和的干涉項，和的模對相對相位對概率分布具有重要作用。
4、量子態的疊加原理常被表述為：「如果和是體系的可能態，則它們的線性疊加也是體系的乙個可能態」。
（1）是否可能出現；
（2）對其中的與是任意與無關的複數，但可能是時間的函式。這種理解正確嗎？
解答：（1）可能，這時與按薛丁格方程的要求隨時間變化。
（2）如按這種理解
已知和是體系的可能態，它們應滿足波方程式
如果和的線性疊加也是體系的可能態，就必須滿足波方程式 ，然而，
可見，只有當時，才有。
因此，中，與應是任意復常數，而不是時間的復函式。如上式中態不含時間，則有。
5、（1）波函式與、是否描述同一態？
（2）下列波函式在什麼情況下才是描述同一態？
這裡是復常數，是實常數。
解答：（1）與、描述的相對概率分布完全相同，如對空間和兩點的相對概率
故與、均描述同一態。
（2）由於任意複數，以及
顯然，只有當複數，即，且時，
均描述同一態。
6、量子力學規律的統計性與經典統計力學的統計規律有何不同？量子力學統計規律的客觀基礎是什麼？
解答：經典統計力學的基礎是牛頓力學，例如一定量氣體中每個氣體分子在每個瞬時都有確定的位置和動量，每個分子都按牛頓運動定律而運動，而大量分子組成的體系存在著統計規律。例如，對個別分子不存在溫度這個概念，處於平衡態的理想氣體的溫度是分子平均平動動能的量度。
與經典力學不同，量子力學不是像經典統計力學那樣建立起來的巨集觀理論，波函式的統計解釋是量子力學的理論結構中的基本假設。
在傳統的解釋中，量子力學規律的統計性被認為是由波粒二象性所決定的微觀粒子的本質特性，是觀測儀器對微觀粒子的不可控制的作用的結果。如類似經典粒子那樣，進一步問：統計性的微觀實質是什麼？
依據是什麼？則被認為是超出了基本假設限度，因而是沒有意義的，也是沒有必要的。
7、量子力學為什麼要用算符表示力學量？表示力學量的算符為什麼必須是線性厄密的？
解答：用算符表示力學量，是量子體系所固有的波粒二象性所要求的，這正是量子力學處理方法上的基本特點之一。我們知道，表示量子態的波函式是一種概率波，因此，即是在一確定的量子態中，也並非各力學量都有完全確定值，而是一般的表現為不同數值的統計分布，這就注定了經典力學量的表示方法（可由運動狀態完全決定）不再使用，因此需要尋求新的表示方法。
下面從力學量的平均值的表示式出發，說明引入算符的必要性。
如果體系處於中，則它的位置平均值為
類似地，它的動量的平均值也可表示為
若要求出上述積分，必須將p表示為x的函式，然而這是做不到的，因為按不確定關係p(x)的表示是無意義的，因此不能直接在座標表象中用上式求動量平均值。我們可先在動量表象中求出動量平均值，然後再轉換到座標表象中去。
利用有作代換，並對積分得（推廣到三維）
可見，要在座標表象中計算動量平均值，那麼動量向量恰與算符相當。實際上，任何乙個力學量在非自身表象中計算平均值時，都與相應的算符相當，自然會引入算符表示力學量的概念。
用算符表示力學量問題還可以從另乙個角度來說明。我們知道，在量子力學中，力學量之間的關係從其數值是否能同時確定來考慮，有相互對易與不對易兩種，而經典力學量之間都是對易的，因此經典力學量的表示方法不能適用於量子力學，然而數**算中算符與算符之間一般並不滿**換律，也就是存在不對易情況，因此用算符表示力學量是適當的。
力學量必須用線性厄密算符表示，這是由量子態疊加原理所要求的；任何力學量的實際測量值必須是實數，因此它的本徵值也必為實數，這就決定了力學量必須由厄密算符來表示。
8、力學量之間的對易關係有何物理意義？
解答：力學量之間的對易關係，是量子力學中極為重要的關係。它相當於舊量子論中的量子化條件，具有深刻的物理含義。
對易關係表明，經典因果性不是普遍成立的，並指出各類力學量能夠同時確定的條件（相互對易），體現了量子力學的基本特點。與不確定原理一樣，力學量之間的對易關係也是**於物質的波粒二象性。從純理論的角度說，它也可以作為量子力學的基本出發點。
此外，對於有的力學量，對易關係反映了它的基本特徵，如，就可作為角動量的定義。
9、什麼是力學量的完全集？它有何特徵？
解答：設有一組彼此獨立而又相互對易的力學量（），它們的共同本徵函式係為，如果給定一組量子數就可以確定體系的乙個可能態，那麼，就稱（）為體系的乙個力學量完全集。它的特點是：
（1）力學量完全集的共同本徵函式系構成乙個希爾伯特空間；（2）力學量完全集所包含力學量的數目等於量子陣列所包含的量子數數目，即體系的自由度數；（3）力學量完全集中所有力學量是可以同時測量的。
10、何謂定態? 它有何特徵？
解答：定態就是概率密度和概率流密度不隨時間而變化的狀態。若勢場恆定，則體系可以處於定態。
定態具有以下特徵:
（1）定態波函式時空座標可以分離，，其中是哈密頓量的本徵函式，而為相應的本徵值；
（2）不顯含時間的任何力學量，對於定態的平均值不隨時間而變化，各種可能值出現的概率分布也不隨時間而變化。
注意，通常用表示定態只是一種簡寫，定態是含時態，任何描寫粒子狀態的波函式都是含時的。
11、（1）任意定態的疊加一定是定態。理由如下：
定態的線性疊加
態中平均值與無關，所以疊加態是定態。
（2）體系的哈密頓量不顯含時間時，波動方程的解都是定態解。以上說法正確嗎？
解答：（1）能量不同的定態的疊加態中，不具有確定的能量值，儘管與無關，但位置概率密度依賴於時間，這表明任意定態的疊加不再具有定態的特徵，是非定態。
（2）由於波動方程是線性的，體系中不同定態疊加而成的非定態仍是波動方程的解。因此，只能說定態解（不顯含時間）是體系含時波動方程的解，但不能說該體系的含時波動方程的解都是定態解。由此可以看出，由於定態是能量的本徵態，本徵值方程中明顯出現，體系中不同能量的本徵態的線性疊加不可能再是原本徵方程的解，而這種疊加態正是實際存在的最一般的可能態。
12、什麼是束縛態？它有何特徵？束縛態是否必為定態？定態是否必為束縛態？舉例說明。
解答：當粒子被勢場約束在特定的區域內運動，即在無限遠處波函式等於零的態叫束縛態。
束縛態的能級是分立的。例如，一維諧振子就屬於束縛定態，具有量子化的能級。但束縛
態不一定是定態，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態是一系列分立的定態疊加而
成的波包，這種疊加態是沒有確定能量的非定態。雖然一般情況下定態多屬束縛態，但定態也
可能有非束縛態，例如在散射中，粒子並不侷限於有限區域，但粒子處於能量本徵態，這時粒
子處於非束縛態，或者說粒子處於散射定態（簡稱為散射態）。
13、不確定關係如何體現微觀粒子的普遍本質——波粒二象性？
解答：對於微觀粒子使用「波粒二象性」的術語，這本身既反映了經典物理概念的侷限性，又反映了我們語言的侷限性。我們可以認為，物質兼具粒子性和波動性，但確切地說，它們既不是經典波，也不是經典粒子，經典物理中粒子和波的概念只有經過修正才能被量子理論借用，不確定性關係就反映了這種修正，它給出了這兩個概念能夠被有效借用的限度，如給出了用粒子影象描述物質的侷限性。
14、如何用矩陣表示量子態與力學量，並說明理由。
解答: 矩陣表示一般用於本徵值為分立譜的表象（相應希爾伯特空間的維數是可數的）。具體說，如果力學量的本徵函式為，相應本徵值為。任意態矢可展開為
態矢在表象的表示為展開係數組成的一列矩陣
其意義是：在態中，力學量取值的機率為，與座標表象波函式的意義相類似。
力學量用厄密矩陣表示
可見列矩陣與方陣維數與希爾伯特空間維數相同。
用矩陣表示力學量，理由如下：
（1）可以反映力學量作用乙個量子態而得到另乙個量子態的事實。設，則
簡記為；
（2）矩陣乘法一般不滿**換律，這恰好能滿足兩個力學量一般不對易的要求；
（3）厄密矩陣的性質能體現力學量算符的厄密性。
15、算符（力學量）在其自身表象中如何表示？其本徵矢是什麼?
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