我個人的理解：
1、傅利葉變換實質是把能量有限訊號f(t)分解到以為正交基的空間上去；小波變換的實質是把能量有限訊號f(t)分解到w-j和v-j所構成的空間上去的。
2、傅利葉變換用到的基本函式只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函式（即小波函式）則具有多樣性，同乙個工程問題用不同的小波函式進行分析有時結果相差甚遠。小波函式的選用是小波分析運用到實際中的乙個難點問題（也是小波分析研究的乙個熱點問題），目前往往是通過經驗或不斷地試驗（對結果進行對照分析）來選擇小波函式。
3、在頻域分析中，傅利葉變換具有良好的區域性化能力，特別是對於那些頻率成分比較簡單的確定性訊號，傅利葉變換很容易把訊號表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在時域中傅利葉變換沒有區域性化能力，即無法從f(t)的傅利葉變換中看出f(t)在任一時間點附近的性態。
事實上，f(w)dw是關於頻率為w的諧波分量的振幅，在傅利葉展開式中，它是由f(t)的整體性態所決定的。
4、在小波分析中，尺度a的值越大相當於傅利葉變換中w的值越小。
5、在短時傅利葉變換中，變換係數s(ω，τ)主要依賴於訊號在[τ-δ，τ+δ]片段中的情況，時間寬度是2δ（因為δ是由窗函式g(t)唯一確定的，所以2δ是乙個定值）。在小
波變換中，變換係數wf（a,b）主要依賴於訊號在[b-aδφ，b+aδφ）片斷中的情況，時
間寬度是2aδφ，該時間的寬度是隨尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間區域性分析能力。
6、若用訊號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅利葉變換不容之處在於：對短時傅利葉變換來說，帶通濾波器的頻寬δf與中心頻率f無關；相反小波變換帶通濾波器的頻寬δf則正比於中心頻率f。
二進小波
為了使小波變換具有可變化的時間和頻率解析度，適應待分析訊號的非平穩性，需要改變a和b的大小，以使小波變換具有「變焦距」的功能。最常用的是二進的動態取樣網格（網格點應盡可能密，即和盡可能小，才能夠保證重構訊號的精度），即：
二進小波函式及變換：
二進小波對訊號的分析具有變焦距的作用。假定有一放大倍數，它對應為觀測到訊號的某部分內容。如果想進一步**訊號更小的細節，就需要增加放大倍數即減小j值；反之，若想了解訊號更粗的內容，則可以減小放大倍數，即加大j值。
在這個意義上，小波變換被稱為數學顯微鏡。
多小波所謂多小波，就是由兩個或兩個以上的函式作為小波的尺度函式生成的小波多小波同時具有對稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩性質，傳統小波卻不能同時具有這些性質，因此多小波與傳統小波相比具有更為優越的效能。
提公升小波
建立在以上介紹的小波理論基礎上的小波型別（），我們一般稱為「第一代小波」，這種傳統的基於卷積的離散小波變換計算量很大，複雜度比較高，計算機硬體難以實現。提公升的實現形式給出了小波完全的空間解釋，它有許多優點：運算量低、結構簡單、原位運算、節省儲存空間、逆變換可以直接反轉實現，可逆的整數到整數實現。
乙個規範的提公升演算法有3個步驟：**(split)、**(predict)、更新(update)。
方向小波
方向小波變換,能夠突出影象中物體的方向特性,檢測出影象中某一方向的邊緣.
設ψ( x) ∈l1 (r) 且^ ψ(0) = 0 ,令ψs ( x , y ,θ) := ψs ( xcosθ+ ysinθ) . 函式f ( x , y) ∈l2 (r2 ) 的方
圖1 db2 小波及其旋轉後的影象
(a) db2 小波原影象;
(b) 旋轉45°後的db2 方向小波影象;
(c) 旋轉90°後的db2 方向小波影象;
(d) 旋轉135°後的db2 方向小波影象.
向小波變換定義為:
wψsf ( x , y ,θ) = ( f 3ψs ) ( x , y ,θ) =
1s∫r∫r f ( u , v)ψ( 1s( x - u) cosθ+1s( y - v) sinθ) d ud v.
方向小波變換體現了函式f ( x , y) 在點( x , y) 附近沿
直線( x - u) cosθ+ ( y - v) sinθ = 0 隨不同尺度s 的變化情
況,當θ變化時,wψsf 能描述不同角度的變化情況. 其實質
是將函式與旋轉後的一維小波ψ作卷積,得到了具有方向
性的小波變換. 這樣,我們可以選取不同的θ,便得到原函
數f ( x , y) 在點( x , y) 附近按旋轉後的ψs 進行加權的平均,
可以體現有方向性的f ( x , y) 以ψs 標準快慢的變化情況.
塔式演算法
在進行訊號的小波分解和小波包分解時，為了特殊的分析和處
理目的，往往需要進行多次分解。這樣，分解過程自動產生一
個金字塔形的逐次分解結果，這就是金字塔演算法。如果只是從
原始資料和最後分解結果來看，金字塔演算法產生乙個資料金字
塔。在這裡給出小波分解過程和合成過程的示意圖，直觀說明
與小波分解過程和合成過程相對應的訊號及其所在空間的分割
和合併。
一， 簡答題：
（1）二進小波
為了使小波變換具有可變化的時間和頻率解析度，適應待分析訊號的非平穩性，需要改變a和b的大小，以使小波變換具有「變焦距」的功能。最常用的是二進的動態取樣網格（網格點應盡可能密，即和盡可能小，才能夠保證重構訊號的精度），即：
多小波所謂多小波，就是由兩個或兩個以上的函式作為小波的尺度函式生成的小波。多小波同時具有對稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩性質，傳統小波卻不能同時具有這些性質，因此多小波與傳統小波相比具有更為優越的效能。
提公升小波
相對於「第一代小波」，這種傳統的基於卷積的離散小波變換計算量很大，複雜度比較高，計算機硬體難以實現。提公升的實現形式給出了小波完全的空間解釋，它有許多優點：運算量低、結構簡單、原位運算、節省儲存空間、逆變換可以直接反轉實現，可逆的整數到整數實現。
乙個規範的提公升演算法有3個步驟：**、**、更新。
方向小波
方向小波變換,其實質是將函式與旋轉後的一維小波ψ作卷積,得到了具有方向性的小波變換. 這樣,我們可以選取不同的θ,便得到原函式f ( x , y) 在點( x , y) 附近按旋轉後的ψs 進行加權的平均,可以體現有方向性的f ( x , y) 以ψs 標準快慢的變化情況.
他們間有何聯絡：
二進小波在處理訊號時採用了離散化的手段，通過對小波函式中尺度引數的控制實現不同時間和頻率解析度的變換分析，體現了小波分析的「變焦」優勢；多小波主要是針對尺度函式而言，通過對不同尺度函式進行組合實現了不同尺度函式的優勢互補，從而提高了小波分析的效能；傳統的小波分析都是在傅利葉分析基礎上發展而來，其核心——多分辨分析也是在二進平移縮放基礎上建立起來的，在這樣的框架下建立起來的小波成為：「第一代小波」，提公升小波的提出為小波分析開啟了新的視野，這種提公升的格式是不依賴於傅利葉分析的思維方式，為小波的構造提供了新的方法，提公升小波不僅繼承了傳統小波的優勢也克服了第一代小波平移和伸縮的不變性，同時也簡化了計算 ，便於計算機方法的實現。
方向小波是在多維空間通過對一維小波的旋轉再同原函式做卷積運算的方法實現了空間中具有方向性的小波變換，為小波分析從一維到多維的推廣提供了新的思路。
（2）正交小波低通和高通濾波器係數的關係：
正交小波的濾波器係數需要滿足的條件和關係如下：（也就是濾波器的構造上應該滿足的條件）
所以，正交小波的低通濾波器係數和高通濾波器的係數關係如下：
其中g為高通係數，h為低通係數
分解和重構的矩陣表達：
設為濾波前的原始訊號，用ｘ＝｛xi,i=1,2…..n｝表示，設通過濾波後，得到濾波後的訊號，用y表示，p為由濾波器係數（包括低通和高通濾波器的係數）構成的實數矩陣，用小波對變形觀測資料進行分析
y = p x (分解)
如果p＝wm（w和m分別表示低通和高通濾波器係數） 滿足ptp=i，則用下式實現對原始訊號恢復：
x = pty （重構）
（3）多分辨分析：
塔式演算法：
在進行訊號的小波分解時，為了特殊的分析和處理目的，往往需要進行多次分解。這樣，分解過程自動產生乙個金字塔形的逐次分解結果，這就是金字塔演算法。
（4）小波分析是傅利葉分析思想的發展與延拓，它自產生以來，就一直與傅利葉分析密切相關，他的存在性證明，小波基的構造以及結果分析都依賴於傅利葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點：
1、傅利葉變換實質是把能量有限訊號f(t)分解到以為正交基的空間上去；小波變換的實質是把能量有限訊號f(t)分解到w-j和v-j所構成的空間上去的。
2、傅利葉變換用到的基本函式只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分析用到的函式（即小波函式）則具有多樣性，同乙個工程問題用不同的小波函式進行分析有時結果相差甚遠。小波函式的選用是小波分析運用到實際中的乙個難點問題（也是小波分析研究的乙個熱點問題），目前往往是通過經驗或不斷地試驗（對結果進行對照分析）來選擇小波函式。
3、在頻域分析中，傅利葉變換具有良好的區域性化能力，特別是對於那些頻率成分比較簡單的確定性訊號，傅利葉變換很容易把訊號表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在時域中傅利葉變換沒有區域性化能力，即無法從f(t)的傅利葉變換中看出f(t)在任一時間點附近的性態。
事實上，f(w)dw是關於頻率為w的諧波分量的振幅，在傅利葉展開式中，它是由f(t)的整體性態所決定的。
4、在小波分析中，尺度a的值越大相當於傅利葉變換中w的值越小。
5、在短時傅利葉變換中，變換係數s(ω，τ)主要依賴於訊號在[τ-δ，τ+δ]片段中的情況，時間寬度是2δ（因為δ是由窗函式g(t)唯一確定的，所以2δ是乙個定值）。在小波變換中，變換係數wf（a,b）主要依賴於訊號在[b-aδφ，b+aδφ）片斷中的情況，時間寬度是2aδφ，該時間的寬度是隨尺度a變化而變化的，所以小波變換具有時間區域性分析能力。
小波理論及應用報告
基於小波變換的目標邊緣檢測方法 為提高目標邊緣檢測效率，首先研究利用小波變換對目標影象進行增強和去噪的預處理，通過分析研究小波目標邊緣檢測方法，提出採用多尺度自適應閾值快速演算法結合目標去噪和增強提取精細邊緣的方法。從小波變換的性質出發，系統分析研究弱小目標檢測方法，提出採用小波多尺度相關和能量交叉...
北京初一 下 期末試題 侯小波
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電子小製作期末試題
2014年 2015學年度第一學期 班級姓名 學號1 填空題 每空1分，共計20分 1 用指標式萬用表測量電阻時，選擇檔，選擇好檔位要 2 電容按極性可分為 3 已知乙個電容上面標有2 2，則此電容的容量f。4 如圖1所示的可調電阻，它的阻值是 5 晶體三極體有兩個pn 結，即結和結，在放大電路中結...