楊宇軒南漳縣第二中學（ 湖北襄陽 441100 ）
摘要：對剛體平面運動過程的簡化作了說明，給出了確定速度瞬心及加速度瞬心位置的方法，並證明了加速度瞬心存在性和唯一性，本文在闡述瞬心問題的同時，通過例項介紹了剛體轉動速度瞬心及加速度瞬心的在實際問題中的應用。並通過maple程式設計對例項進行解析，由於瞬心是剛體平面平行運動中很特殊的點,因此在有些問題中應用對瞬心的動量矩定理能使問題更加簡潔,也能增加對其他點的動量矩定理的理解。
。關鍵字：剛體速度瞬心加速度瞬心平面運動 maple
0引言 任何兩個質點之間的距離不因力的作用而發生改變，這種特殊的質點組叫做剛體。做平面運動的剛體薄片的角速度不為零時，在任一時刻，薄片上恒有一點的速度為零，這個點叫轉動瞬心[1]。當薄片運動時，轉動瞬心也會不斷地改變位置，瞬心c在平面o-xy上所描繪的軌跡叫做空間極跡，在a-x'y'平面上的軌跡叫做本體極跡。
在任一瞬時，空間極跡與本體極跡的公共切點c，是該時刻轉動瞬心。教科書周衍柏《理論力學》第三版第146頁，所述的轉動瞬心，也就是剛體轉動的速度瞬心，由速度瞬心類推得到，剛體平面運動任一瞬時,加速度為零的點稱為加速度瞬心。速度瞬心與加速度瞬心不是同一點，一般不重合。
瞬心的一大特點就是瞬時性。這是因為在空間座標系中瞬心的位置（座標）是時刻移動的，在固連在剛體上的座標系中順心的位置（座標）也是時刻變化的。
利用瞬心求解物理基本運動物理量就顯得很方便，再利用瞬心法求解物理問題中，找出瞬心位置就顯得尤其重要，得到剛體瞬心的位置,很容易確定剛體上其它各點的速度及其角速度。
除了速度瞬心,還有加速度瞬心,在我們所學的理論力學及相關的資料中都很少提及、闡述家速度瞬心,一般原因大致有兩點:其一是教學大綱中對加速度瞬心的內容沒有任何要求;其二是加速度瞬心一般難以確定。但在某些特殊條件下,加速度瞬心是較容易確定的,確定後容易求出其它點的加速度及角加速度,從而使一些問題得以簡化。
文中對速度瞬心和加速度瞬心進行了分析,並用例項說明其應用。[2]
教科書中對瞬心的應用一般常見於在運動學中確定瞬心後求其它點的速度、角速度、加速度或角加速度,在動力學中的應用很少提及。但由於瞬心是剛體平面平行運動中很特殊的點,在有些問題中應用對瞬心的動量矩定理能使問題更加簡潔,也能增加對其他點的動量矩定理的理解。
1剛體的轉動瞬心
1.1轉動瞬心的概念
轉動瞬心是作平面平行運動的剛休的瞬時轉動中心，其速度為零，因此可認為剛體的平面平行運動是一種以轉動瞬軸(通過瞬心，且垂直於剛體上任一點的運動平面的直線)為軸的瞬時定軸轉動。由此可知:
1.11轉動瞬心只對作平面平行運動的剛體而言，對曲線無意義。
1.12轉動瞬心只能反應剛體上任一點的速度，它只反應該點一點的情況，所以它不能反應剛體上該點運動軌跡在某處的彎曲程度。
1.2曲率中心概念
曲率某處的曲率式中，為曲線在該處的孤微分， 為軸正向與曲線切線的夾角，的正轉向為順時針，反應了曲線該處的彎曲程度，大，彎曲程度大
1.3轉動瞬心的確定
作平面運動的剛體的角速度不為零的時候，在任意的時刻上的橫有一點的速度為零，叫做轉動瞬心，其相對於的座標可令式中的等於零而求的，即
而轉動瞬心相對於的座標，則可令等於零則
，如果=0，則無轉動瞬心，或者說轉動瞬心在無窮遠。
只要轉動瞬心為已知，就很難推出薄片此時的轉動狀況，如果取c為基點，則在此時刻的速度為零，故此時的按照轉動，我們可以用幾何法來求出轉動瞬心的位置。過點做兩條直線分別垂直倆個速度，則此時的焦點為轉動瞬心。此時轉動瞬心在靜系中的軌跡為空間軌跡，在動系中的軌跡為本體軌跡。
3轉動瞬心聯絡速度瞬心
平面運動剛體任一瞬時,速度為零的點稱為速度瞬心,記作c。由速度基點法,已知某瞬時剛體的角速度基點a速度，分析點：
由於速度瞬心的瞬時速度為零,因而剛體的平面運動可看成是連續繞速度瞬心的純轉動,速度瞬心與任一點速度向量的連線必與此點的速度方向垂直，這樣就可以用幾何法找出剛體平面運動的速度瞬心已知平面圖形上任兩點的速度方向，則分別作其速度垂線，相交點即速度瞬心則將二速度向量的箭頭與箭頭、箭尾與箭尾相連,交點即速度瞬心。在剛體的平面運動中,除了以上三種速度型別,中我們可以用速度瞬心的特點或速度投影法等來進行分析。(兩速度向量同向且大小相等,但其速度垂線不在一條線上,若是這樣的話,相當於其速度瞬心在無窮遠,此時剛體實際做的是平動,並不是平面運動。
對兩速度向量同向不等大小,且其速度垂線不在一直線上,這種情況也是不可能的。
4剛體對瞬心的轉動方程
正確的剛體繞瞬心的轉動方程:
+式中p=∑mivi,io′為對瞬心的轉動慣量,r為瞬心的位矢.同時指出了上述錯誤證明的根源:「剛體轉動瞬心的速度為零,是指某時刻剛
體上(或其延展)某點運動速度為零,而不是轉動瞬心所在空間位置對時間的變化率為零
因此dr/dt一般不為零
設在時間dt內,剛體轉過一微小角dθ,所有外力的元功為
δw=lpdθ
其中lp為所有外力對瞬時軸的矩.按動能定理,得dt=δw即12d(ip.θ2)=lpdθ
注意到ip=i+ρ2m(ρ為瞬心p到質心的距離)
對於剛體平面轉動問題，我們一般要對平面運動的進行簡化。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形s在其自身平面內的運動。平面運動又能分解為平動和轉動，為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內任意一條線段的位置．平面運動方程
。剛體平面運動可以看成是平動和轉動的合成運動。當選取好適當的點作為基點，剛體平面運動即可簡化為隨基點的平動和繞基點的轉動。剛體定軸轉動和平面平動是剛體平面運動的特例。
平面運動隨基點平動的運動規律與基點的選擇有關，而繞基點轉動的規律與基點選取無關，瞬心問題的提出，在某一瞬時必唯一存在一點速度等於零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱瞬心．瞬心位置隨時間改變。每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉動．這種瞬時繞瞬心的轉動與定軸轉動不同。 =0, 瞬心位於無窮遠處, 各點速度相同, 剛體作瞬時平動, 瞬時平動與平動不同．
在理解瞬心及用瞬心法求解物理問題時應該注意：瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。
瞬心處的速度為零, 加速度不一定為零。剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同於剛體平動。
2剛體平面運動加速度瞬心的存在性及唯一性
2.1加速度瞬心的存在性
證明：如圖1 剛體以角速度ω、角加速度α做平面運動，若已知點a的加速度a[a]，設剛體上的b點是加速度瞬心，b點到a點的距離為λ，由剛體的平面運動的加速度基點法可以得到：
有向線段ab與a點加速度aa的夾角θ為：
通過分析：過a點做方向為a點加速度aa順著α旋轉θ角的射線，在射線上量取λ得到的點b就是剛體做平面運動的瞬心。
2.2加速度瞬心的唯一性
證明：如圖2 剛體以角速度ω、角加速度α做平面運動，設剛體上的a點是加速度瞬心，設剛體上距離a點到b點的距離為λ的b點也是加速度瞬心，即ab=0；由剛體的平面運動的加速度基點法可以得到：
將帶入到中：即λ=0；
這就證明了ab兩點重合，剛體平面運動僅有乙個加速度瞬心；
圖1圖2
由此我們可以得知：加速度瞬心與速度瞬心一樣，確定存在並且唯一。
3對瞬心及在特殊條件加速度瞬心的動量矩定理的理解
平面運動剛體任一瞬時,加速度為零的點稱為加速度瞬心,例如均質圓盤在平面或斜面上做純滾動的問題,在這種情況下,對速度瞬心的動量矩定理可表述為:剛體對速度瞬心的動量矩對時間的微商等於作用在剛體上諸外力對速度瞬心的力矩的向量和,數學表示式為:djc/dt=m
速度瞬心與加速度瞬心一般不重合。對加速度瞬心,只有在幾種特殊情況下才比較好確定,但在這些特殊情況下確定後能使一些問題解決起來得到簡化。
在一些特殊情況中，例如均質圓盤在平面或斜面上做純滾動的問題,對速度瞬心的動量矩定理可表述為:剛體對速度瞬心的動量矩對時間的微商等於作用在剛體上諸外力對速度瞬心的力矩的向量和,數學表示式為:dj/dt=me，其成立條件為剛體平面純滾動問題。
實際上,上述式子在只要當平面運動剛體的質心與速度瞬心的距離保持不變得情況下都是成立的。又由角動量與轉動慣量的關係,上式可進一步寫成:dj/dt=i*a=me (i為剛體相對速度瞬心的轉動慣量)，運用對瞬心的角動量定理可以簡化計算，在例題四的解析中體現出對瞬心的角動量定理將使問題變得簡潔。
3確定速度瞬心與加速度位置的方法
3.1圖示法確定速度瞬心
由於速度瞬心的瞬時速度為零,因而剛體的平面運動可看成是連續繞速度瞬心的純轉動,速度瞬心與任一點速度向量的連線必與此點的速度方向垂直。這樣就可以用幾何法找出剛體平面運動的速度瞬心。
如圖1——圖6用途是的方法找出瞬心位置瞬心c*
1已知剛體轉動的角速度及剛體上任一點的絕對速度。如圖1，瞬心c*
2已知兩點的速度，且彼此不平行。如圖2，瞬心c*
3已知速度方向垂直於同一條直線的兩點的速度。如圖3，瞬心c*
4已知剛體做瞬時平動。如圖5，瞬心c*
5已知兩速度平行且方向相反。如圖4，瞬心c*
6已知滾動的輪子，其與地面的接觸點。如圖6，瞬心c*
3.2圖示法確定加速度瞬心
1，已知剛體內兩點的加速度（加速度方向不平行）如圖1，瞬心c
2，已知剛體轉動的角加速度α大小和方向和角速度ω，及剛體上任一點的加速度大小和方向，如圖2 瞬心c
3，若已知純滾動的圓盤的角加速度α的大小及方向，及角速度ω的大小，如圖3，瞬心c
圖1圖2
圖34速度瞬心法及對瞬心動量矩定理
剛體的平面平行運動可以分解為剛體隨基點的平動及剛體繞基點的轉動兩部分。若取基點為瞬心，則剛體在該時刻的運動就變成了繞瞬心的轉動。由於剛體轉動的角速度、角加速度等轉動量與基點的選取無關，所以只要求出了瞬心的位置就可以求出剛體上任一點的速度，解：
研究分析，已知、的方向，因此可確定出點為速度瞬心如圖所示
因為， 得
； 所以：
剛體平面平行運動中有些問題用瞬心法求解速度更為便利。如下面的例子
例題：設橢圓規尺的端點和沿直線導槽及滑動如（圖4.1）所示，而以勻速度運動.求橢圓規尺上點的速度。
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